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Reprenons l’équation

$c^{2}=(mf+m'f')^{2}-2mm'ff'{\text{ϐ}}.$

Si l’on néglige les quantités de l’ordre des quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons, elle donnera

const.$=m{\sqrt {a}}.e^{2}+m'{\sqrt {a'}}.e'^{2}+{\frac {2mm'{\sqrt {aa'}}.{\text{ϐ}}}{m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}}}\,;$

ainsi, $a$ et $a'$ étant, par ce qui précède, constants, même en ayant égard au carré de la force perturbatrice, on aura

$0=m{\sqrt {a}}.e^{2}+m'{\sqrt {a'}}.e'^{2}+{\frac {mm'{\sqrt {aa'}}.\gamma \delta \gamma }{m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}}},$

équation à laquelle je suis parvenu dans le n^o 15 du Livre VI, en n’ayant égard qu’aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. Il en résulte que le plan invariable, déterminé dans le n^o 62 du Livre II, reste invariable, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice.

4. On peut, au moyen des expressions différentielles des éléments, déterminer d’une manière fort simple l’influence de la figure de la Terre sur les mouvements de la Lune. On a vu, dans le Chapitre II du Livre VII, que cette action ajoute à la valeur de ${\rm {R}}$ la fonction

$\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \rho \right){\frac {\rm {D^{2}}}{r'^{3}}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\,;$

$\alpha \rho$ est l’aplatissement de la Terre, $\alpha \varphi$ est le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, ${\rm {D}}$ est le rayon moyen du sphéroïde terrestre, et $\mu$ est le sinus de la déclinaison de la Lune, sinus qui, par le numéro cité, est, à fort peu près,

$\mu ={\sqrt {1-s^{2}}}.\sin \lambda \sin f\upsilon +s\cos \lambda ,$

ou exactement

$\mu ={\frac {\sin \lambda \sin f\upsilon +s\cos \lambda }{\sqrt {1+s^{2}}}}$