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la somme $g+g'+2g''$ des coefficients des angles $\varpi ,\varpi '$ et $\theta '$ doit être nulle, pour que ce terme soit indépendant de l’origine arbitraire de ces angles. On a donc

$d\gamma =-{\frac {am'ndt}{\sin \gamma {\sqrt {1-e^{2}}}}}\left[(1-{\text{ϐ}}){\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial \varpi '}}\right],$

et par conséquent on a, en vertu des expressions précédentes de $de$ et de $de',$

${\begin{aligned}{\frac {d\gamma \sin \gamma }{\cos \gamma }}+{\frac {ede}{1-e^{2}}}+{\frac {e'de'}{1-e'^{2}}}=&-{\frac {a'mn'ede}{am'n\cos \gamma {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {1-e'^{2}}}}}\\&-{\frac {am'ne'de'}{a'mn'\cos \gamma {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {1-e'^{2}}}}}.\end{aligned}}$

En multipliant cette équation par $\cos \gamma {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {1-e'^{2}}},$ et intégrant, on aura

$2\cos \gamma {\sqrt {1-e^{2}}}{\sqrt {1-e'^{2}}}={\rm {const}}.-{\frac {m{\sqrt {a}}}{m'{\sqrt {a'}}}}\left(1-e^{2}\right)-{\frac {m'{\sqrt {a'}}}{m{\sqrt {a}}}}\left(1-e'^{2}\right).$

Faisons, pour abréger,

${\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}=f,\qquad {\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}}=f'\,;$

nous aurons

ϐ$={\frac {(mf+m'f')^{2}-c^{2}}{2mm'ff'}},$

$c^{2}$ étant une constante arbitraire, indépendante des éléments.

La valeur précédente de $d\theta '$ exprime le mouvement de l’intersection des deux orbites, produit par l’action de $m'$ et rapporté à l’orbite de $m.$ Concevons un plan intermédiaire entre ceux des deux orbites, et qui passe par leur intersection mutuelle. Nommons $\varphi$ l’inclinaison de l’orbite de $m$ à ce plan. Pour avoir le mouvement différentiel du nœud de l’orbite de $m$ sur ce plan, produit par l’action de $m'$ il faut multiplier la valeur précédente de $d\theta '$ par ${\frac {\sin \gamma }{\sin \varphi }}.$ En nommant donc $d\theta$ ce mouvement, on aura

$d\theta =-{\frac {m'dt}{f}}{\frac {\sin \gamma }{\sin \varphi }}{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial {\text{ϐ}}}}.$