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il est, aux quantités près de l’ordre $m^{2},$ égal à

$-m'{\frac {xd^{2}x'+yd^{2}y'+zd^{2}z'}{dt^{2}}}-{\frac {m'}{\rho }}$

sa partie non périodique ne dépend donc que de la partie non périodique de $-{\frac {m'}{\rho }}\,;\ {\rm {F}}$ est donc égale à la partie non périodique de $-{\frac {1}{\rho }},$ développé en série de cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps $t$, en sorte qu’il est le même pour les deux planètes. En faisant varier dans ${\rm {F}}$ les éléments de l’orbite de $m,$ et substituant, pour $\delta e,\delta \varpi ,\delta p,\delta q,$ leurs valeurs données par les intégrales des équations différentielles précédentes, on voit que $\delta {\rm {F}}$ se réduit à zéro, et la même égalité a lieu relativement aux éléments de l’orbite de $m',$ ce que j’ai démontré dans le n^o 5 du Livre VI de la Mécanique céleste, en ne portant l’approximation que jusqu’aux termes de l’ordre des quatrièmes puissances des excentricités exclusivement.

On a, par ce qui précède,

$\delta {\text{ϐ}}=-q\sin \gamma ,\qquad \delta \theta '=-{\frac {p}{\sin \gamma }}.$

Supposons que $\delta {\text{ϐ}}$ et $\delta \theta '$ croissent respectivement des quantités $d{\text{ϐ}}$ et $d\theta '\,;$ on aura

$d{\text{ϐ}}=-dq\sin \gamma ,\qquad d\theta '=-{\frac {dp}{\sin \gamma }}\,;$

substituant pour $dp$ et $dq$ leurs valeurs, on aura

${\begin{aligned}d\theta '=&-{\frac {am'ndt}{\sqrt {1-e^{2}}}}{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial {\text{ϐ}}}},\\d\gamma =&{\frac {am'ndt}{\sin \gamma {\sqrt {1-e^{2}}}}}\left({\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial \theta '}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial \varpi }}\right).\end{aligned}}$

On a

${\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial \theta '}}=-{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial \varpi '}},$

parce que, ${\rm {F}}$ étant développé en cosinus de la forme

${\rm {H}}\cos(g\varpi +g'\varpi '+2g''\theta '),$