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suivante, que nous désignerons par ${\rm {\overline {R}}}$,

${\frac {m'r}{r'^{2}}}\left[\cos(\upsilon '-\upsilon )-{\text{ϐ}}\sin \upsilon \sin \upsilon '+s\sin \gamma \sin \upsilon '\right]$

$-{\frac {m'}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos(\upsilon '-\upsilon )+2{\text{ϐ}}rr'\sin \upsilon \sin \upsilon '-2rr's\sin \upsilon \sin \upsilon '}}}.$

Retranchons de $\upsilon$ et de $\upsilon ',$ tant dans ${\rm {R}}$ que dans ${\rm {\overline {R}}}$, la longitude $\theta '$ du nœud de l’orbite de $m'$ avec $m,$ cette longitude étant comptée sur l’orbite de $m,$ ce qui revient à changer les origines de $\upsilon$ et de $\upsilon ',$ et supposons

$s=q\sin(\upsilon -\theta ')-p\cos(\upsilon -\theta ')\,;$

on aura

${\begin{aligned}{\rm {R}}&={\frac {m'r}{r'^{2}}}\left[\left(1-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\right)\cos(\upsilon '-\upsilon )+{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\cos(\upsilon '+\upsilon -2\theta ')\right]\\&-{\frac {m'}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'\left[\left(1-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\right)\cos(\upsilon '-\upsilon )+{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\cos(\upsilon '+\upsilon -2\theta ')\right]}}}\\\\{\rm {R}}&={\frac {m'r}{r'^{2}}}\left[{\begin{aligned}&\left(1-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}+{\frac {1}{2}}q\sin \gamma \right)\cos(\upsilon '-\upsilon )\\&+\left({\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}-{\frac {1}{2}}q\sin \gamma \right)\cos(\upsilon '+\upsilon -2\theta ')\\&-{\frac {1}{2}}p\sin \gamma \sin(\upsilon '-\upsilon )-{\frac {1}{2}}p\sin \gamma \sin(\upsilon '+\upsilon -2\theta ')\end{aligned}}\right]\\&-{\frac {m'}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'\left[{\begin{aligned}&\left(1-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}+{\frac {1}{2}}q\sin \gamma \right)\cos(\upsilon '-\upsilon )\\&+\left({\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}-{\frac {1}{2}}q\sin \gamma \right)\cos(\upsilon '+\upsilon -2\theta ')\\&-{\frac {1}{2}}p\sin \gamma \sin(\upsilon '-\upsilon )\\&-{\frac {1}{2}}p\sin \gamma \sin(\upsilon '+\upsilon -2\theta ')\end{aligned}}\right]}}}\end{aligned}}$

Maintenant il est visible que l’on changera ${\rm {R}}$ dans ${\rm {\overline {R}}}$, si l’on fait varier, dans ${\rm {R,\ {\text{ϐ}}}}$ de $\delta {\text{ϐ}},\ \upsilon$ de $\delta \upsilon ,$ et $\theta '$ de $\delta \theta ',$ de manière que l’on ait

${\begin{aligned}\delta {\text{ϐ}}=&-q\sin \gamma ,\\\left(1-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\right)\delta \upsilon =&\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\gamma \delta \upsilon =-{\frac {1}{2}}p\sin \gamma ,\\{\text{ϐ}}\delta \theta '-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\delta \upsilon =&-{\frac {1}{2}}p\sin \gamma .\end{aligned}}$

On aura ainsi

${\rm {\overline {R}}}={\rm {R}}-q\sin \gamma {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial {\text{ϐ}}}}-p\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\gamma {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \upsilon }}-{\frac {p}{\sin \gamma }}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \theta '}}\,;$

on a, par le n^o 1, ${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \upsilon }}={\frac {\operatorname {d} R}{ndt}}+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varpi }}\,;$ cela posé, les équations (5) et (6)