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3. Considérons deux planètes $m$ et $m',$ en mouvement autour du Soleil, dont nous prendrons la masse pour unité. Nommons $\upsilon$ la distance angulaire de la planète $m$ à la ligne d’intersection des deux orbites, $\upsilon '$ la distance angulaire de la planète $m'$ à la même droite ; nommons encore $\gamma$ l’inclinaison mutuelle des orbites. En prenant pour plan des coordonnées l’orbite de $m,$ et la ligne des noeuds des orbites pour origine des $x$, on aura

${\begin{alignedat}{3}x=&r\cos \upsilon ,&y=&r\sin \upsilon ,&z=&0,\\x'=&r'\cos \upsilon ',&\qquad y'=&r'\sin \upsilon '\cos \gamma ,\qquad &z'=&r'\sin \upsilon '\sin \gamma ,\end{alignedat}}$

ce qui donne, en faisant $1-\cos \gamma =2\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\gamma ={\text{ϐ}},$

${\begin{aligned}{\rm {R}}&={\frac {m'(xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}-{\frac {m'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}\\\\&={\frac {m'r}{r'^{2}}}\left[\cos(\upsilon '-\upsilon )-{\text{ϐ}}\sin \upsilon \sin \upsilon '\right]\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {m'}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos(\upsilon '-\upsilon )+2{\text{ϐ}}rr'\sin \upsilon \sin \upsilon '}}}\,;\end{aligned}}$

${\rm {R,}}$ sous cette forme, devient indépendant du plan auquel on a rapporté les coordonnées. En le développant en sinus et cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps $t,$ par la substitution des valeurs elliptiques de $r,r',\upsilon ,\upsilon ',$ il devient fonction des distances moyennes $nt+\varepsilon ,n't+\varepsilon '$ des planètes à la ligne des nœuds, des distances des périhélies à la même ligne, des demi-grands axes $a$ et $a',$ des excentricités $e$ et $e',$ et de ϐ ou de l’inclinaison mutuelle des orbites, ϐ étant très-petit et de l’ordre du carré de cette inclinaison. Sous cette forme, ${\rm {R}}$ ne renferme point explicitement les variables $p$ et $q$ mais on peut les y faire naître de la manière suivante.

Si, au lieu de rapporter les mouvements des planètes à leurs orbites, on les rapporte au plan fixe de l’orbite primitive de $m,$ alors $z$ ne sera point nul, et il sera égal à $rs,\ s$ étant le sinus de la latitude de $m$ au-dessus de ce plan. En négligeant le carré des forces perturbatrices, on pourra négliger le carré de $s$ ; on aura ainsi, au lieu de ${\rm {R}}$, la fonction