Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 3.djvu/362

dépendants de $n't$ et de $n''t.$ Ces termes seront de la forme $m'm''{\rm {X,\ X}}$ étant fonction des coordonnées de la planète $m\,;$ ; ils introduisent dans $\int \operatorname {d} R$ des termes de la forme $m'm''\int \operatorname {d} {\rm {X}}$ ou $m'm''{\rm {X,}}$ qui ne peuvent donner que des quantités non périodiques de l’ordre $m'm'',$ quantités que nous avons négligées dans $\int \operatorname {d} {\rm {R.}}$

Pareillement, la variation des coordonnées $x,y,z$ par l’action de $m''$ ne peut introduire dans la partie précédente de ${\rm {R}}$ que les angles $nt$ et $n''t\,;$ il ne faut donc considérer dans cette partie que les termes indépendants de $n't,$ et par conséquent de la forme $m'm''{\rm {X,\ X}}$ étant fonction des seules coordonnées $x,y,z,$ ce qui, comme on vient de le voir, ne peut produire que des quantités négligeables. Ainsi, en n’ayant égard qu’aux quantités non périodiques de l’ordre $m$ dans $\int \operatorname {d} {\rm {R,}}$ on peut supposer que $m''$ est nul, lorsque l’on considère la partie de ${\rm {R}}$ relative à l’action de $m'$ sur $m$, et l’on peut supposer $m'$ nul lorsque l’on considère la partie de ${\rm {R}}$ relative à l’action de $m''$ sur $m$ : on vient de voir que, dans ces deux cas, la variation séculaire de $\int \operatorname {d} R$ est nulle. Cette variation est donc généralement nulle, lorsque l’on considère les actions réciproques de trois ou d’un nombre quelconque de planètes, si l’on n’a égard qu’aux carrés et aux produits des masses perturbatrices dans la valeur de $\operatorname {d} {\rm {R.}}$

Reprenons maintenant l’équation (7) du n^o 1,

$\zeta =3\iint andt\operatorname {d} {\rm {R.}}$

Sa variation est

$\delta \zeta =3an\iint dt\operatorname {d} \delta {\rm {R+3a^{2}\iint \left(ndt\operatorname {d} {\rm {R}}\int \operatorname {d} {\rm {R}}\right).}}$

On vient de voir que $\operatorname {d} \delta {\rm {R}}$ est nul, lorsque l’on n’a égard qu’aux quantités séculaires de l’ordre du carré des masses planétaires ; on a vu pareillement que $\operatorname {d} {\rm {R\int \operatorname {d} {\rm {R}}}}$ est nul, eu égard à ces quantités. En ne considérant donc que les quantités séculaires qui, par la double intégration, acquièrent un dénominateur de l’ordre du carré des masses planétaires, on voit que la variation $\delta \zeta$ est nulle. Ainsi l’on peut assurer que cette variation, en ayant égard soit aux quantités séculaires, soit aux quantités périodiques, ne peut être que de l’ordre des masses perturbatrices ; résultat important auquel M. Poisson est parvenu le premier.