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diques dans $\operatorname {d} \left({\rm {M}}\int {\rm {N}}dt-{\rm {N}}\int {\rm {M}}dt\right)\,;$ cette fonction devient alors

${\begin{aligned}&kindt\sin(i'n't-int+{\rm {A}})\int k'dt\cos(i'n't-int+{\rm {A'}})\\-&k'indt\sin(i'n't-int+{\rm {A'}})\int kdt\cos(i'n't-int+{\rm {A}}),\end{aligned}}$

fonction qui, en effectuant les intégrations, se réduit à zéro, ce qui est conforme à ce que j’ai démontré dans le n^o 12 du Livre VI, relativement aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. L’expression de $\operatorname {d} \left(\delta {\rm {R}}-{\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\delta \int ndt\right)$ est donc une fonction périodique.

L’expression de $\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\delta \int ndt\right)$ ne renferme que des quantités périodiques ; car on a

$\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\delta \int ndt\right)={\frac {d^{2}{\rm {R}}}{ndt}}\delta \int ndt+{\frac {dR}{ndt}}dt\delta n.$

Substituant pour $\delta n$ sa valeur $3\int an\operatorname {d} {\rm {R,}}$ on aura

$\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\delta \int ndt\right)=3an{\frac {d^{2}{\rm {R}}}{ndt}}\iint \operatorname {d} {\rm {R}}dt+3an{\frac {d{\rm {R}}}{ndt}}dt\int \operatorname {d} {\rm {R}}.$

On peut réunir dans un seul terme tous ceux du développement de ${\rm {R}}$ qui dépendent d’un même angle $i'n't-int,$ et il devient de la forme $k\cos(i'n't-ints+{\rm {A).}}$ En le substituant pour ${\rm {R}}$ dans les fonctions ${\frac {d^{2}{\rm {R}}}{ndt}}\iint \operatorname {d} {\rm {R}}dt$ et ${\frac {d{\rm {R}}}{ndt}}dt\int \operatorname {d} {\rm {R}},$ on voit qu’elles se réduisent à des sinus du double de l’angle $i'n't-int+{\rm {A\,;}}$ ainsi la différentielle $\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\delta \int ndt\right)$ ne renferme que des quantités périodiques, d’où il suit que $\operatorname {d} \delta {\rm {R}}$ ne renferme pareillement que des quantités périodiques, lorsque l’on ne fait varier dans $\delta {\rm {R}}$ que les quantités relatives à la planète $m.$

Pour avoir la valeur complète de $d\delta {\rm {R,}}$ il faut encore faire varier dans $\delta {\rm {R}}$ ce qui est relatif à la planète $m'.$ Pour cela, nommons ${\rm {R'}}$ ce que devient ${\rm {R}}$ relativement à la planète $m'$ troublée par l’action de $m\,;$ on aura

${\rm {R}}'={\frac {m(xx'+yy'+zz')}{r^{3}}}-{\frac {m}{\rho }}\,;$

ainsi

${\rm {R}}={\frac {m'}{m}}{\rm {R}}'+m'(xx'+yy'+zz')\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right).$