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par la caractéristique $\delta$ les variations finies, on aura, en ne faisant varier dans ${\rm {R}}$ que ce qui est relatif à la planète $m,$ et en observant que ${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varepsilon }}={\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}},$

$\delta {\rm {R}}={\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\left[\delta \left(\int ndt\right)+\delta \varepsilon \right]$

$+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}\delta a+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}}\delta e+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varpi }}\delta \varpi +{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial p}}\delta p+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial q}}\delta q.\,;$

En substituant, pour $\delta a,\delta e,\delta \pi ,\ldots ,$ les intégrales des valeurs précédentes de $da,de,d\varpi ,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}\delta {\rm {R}}=&{\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\delta \left(\int ndt\right)\\&+2a^{2}\left({\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\int ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}-{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}\int \operatorname {d} {\rm {R}}\right)\\&+{\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)\left({\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}}\int d{\rm {R}}-{\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\int ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}}\right)\\&+{\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left({\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}}\int ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varpi }}\int ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}}\right)\\&+{\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}}}}\left({\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial q}}\int ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial p}}-{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial p}}\int ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial q}}\right).\end{aligned}}$

Pour avoir la valeur de $\operatorname {d} \left[\delta {\rm {R}}-{\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\delta \left(\int ndt\right)\right],$ donnée par cette équation, il faut différentier par rapport aux seules quantités relatives à la planète $m.$ Pour avoir la différentielle relative aux éléments de cette planète, il suffit de supprimer les signes $\int ,$ qui n’ont été introduits que par les intégrales des valeurs différentielles de ces éléments, et alors cette expression devient identiquement nulle ; il suffit donc, pour avoir la différentielle $\operatorname {d}$ de la fonction $\delta {\rm {R}}-{\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}\delta \left(\int ndt\right),$ de différentier par rapport à $nt$ les quantités hors du signe $\int .$ L’expression de cette fonction est composée de termes de la forme ${\rm {M}}\int {\rm {N}}dt-{\rm {N}}\int {\rm {M}}dt,\ {\rm {M}}$ et ${\rm {N}}$ pouvant se développer en cosinus de la forme $k\cos(i'n't-int+{\rm {A}}),\ i$ et $i'$ étant des nombres quelconques entiers, positifs ou négatifs. Supposons que le cosinus précédent appartienne à ${\rm {M}}$, et que $k'\cos(i'n't-int+{\rm {A'}})$ soit le terme correspondant de ${\rm {N.}}$ Il faut combiner ces deux termes ensemble, pour avoir des quantités non pério-