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leurs précédentes, on aura cette équation très-simple,

$d\varpi =-{\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}},$

ce qui donne

$d\varepsilon =-{\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}}+2a^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}ndt.$

En réunissant ces diverses équations, on aura, en observant que $n=a^{-{\frac {3}{2}}}$,

${\begin{array}{ll}(1)\qquad &da=-2a^{2}\operatorname {d} {\rm {R,}}\\(2)\qquad &d\varepsilon =-{\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}}+2a^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}ndt,\\(3)\qquad &de={\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)\operatorname {d} {\rm {R}}+{\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varpi }},\\(4)\qquad &d\varpi =-{\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}},\\(5)\qquad &dp=-{\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial q}},\\(6)\qquad &dq=\ \ {\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial p}}.\end{array}}$

On peut substituer dans ces équations, au lieu de $\operatorname {d} {\rm {R}},\ ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varepsilon }},$ et par là réduire les expressions précédentes à ne renfermer que des différences partielles des éléments ; mais il est aussi simple de conserver la différentielle $\operatorname {d} {\rm {R.}}$

Dans le mouvement considéré comme elliptique, on doit rigoureusement substituer $\int ndt$ au lieu de $nt$ ; or $n=a^{-{\frac {3}{2}}}$ ; on a donc, en nommant $\zeta$ le moyen mouvement de la planète $m,$

(7)

$\zeta =\int ndt=3\iint andt\operatorname {d} {\rm {R.}}$

2. Ces équations mettent en évidence le résultat auquel M. Poisson est parvenu, sur l’invariabilité des moyens mouvements planétaires, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice. En désignant