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page 373 du tome I de la Mécanique céleste, le second membre de cette équation se réduit à

$2andt.r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}},$

et comme on a $r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}},$ il devient

$2a^{2}ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}\,;$

l’expression précédente de $d\varepsilon -d\varpi$ donne ainsi cette équation fort simple, que M. Poisson a trouvée le premier,

$d\varepsilon =d\varpi \left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)+2a^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}ndt.$

Si l’on rapporte, comme on l’a fait dans le Livre II de la Mécanique céleste, le mouvement de la planète $m$ au plan de son orbite primitive, et que l’on fasse, comme dans le même ouvrage,

$p=\operatorname {tang} \varphi \sin \theta ,\qquad q=\operatorname {tang} \varphi \cos \theta ,$

$\varphi$ étant l’inclinaison de l’orbite, et étant la longitude de son nœud ascendant, on aura, par le n^o 71 du Livre II,

${\begin{aligned}dp=&-{\frac {dt}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial q}},\\dq=&\ \ {\frac {dt}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial p}}.\end{aligned}}$

Maintenant, on a, par le n^o 44 du Livre II,

$0={\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}da+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}}de+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varpi }}d\varpi +{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varepsilon }}d\varepsilon +{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial p}}dp+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial q}}dq\,;$

de plus, on a, par le n^o 64 du même Livre,

$da=-2a^{2}\operatorname {d} {\rm {R,}}$

et ${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varepsilon }}={\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}},$ parce que l’angle $nt$ est toujours accompagné de l’angle $+\varepsilon \,;$ en substituant donc, au lieu de $da,de,d\varepsilon ,dp$ et $dq,$ leurs va-