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en ajoutant donc à la différence partielle ${\frac {\operatorname {d} {\rm {R}}}{ndt}}$ la différence partielle ${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varpi }},$ on aura la valeur de ${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}.$ L’expression précédente de $ede$ donnera ainsi

$de={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)\operatorname {d} {\rm {R}}+{\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}ndt{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial \varpi }}.$

On a ensuite, par le n^o 3 du Livre IX de la Mécanique céleste,

$d\varepsilon -d\varpi =-{\frac {d\varpi \left(1-e\cos u\right)^{2}}{\sqrt {1-e^{2}}}}-{\frac {de\sin u\left(2-e^{2}-e\cos u\right)}{1-e^{2}}}\,;$

$u$ est ici l’anomalie de l’excentrique, et $\varepsilon$ est la longitude de l’époque. On peut mettre le second membre de l’équation précédente sous cette forme

$-d\varpi {\sqrt {1-e^{2}}}+{\frac {ed\varpi }{\sqrt {1-e^{2}}}}\left(2\cos u-e-e\cos ^{2}u\right)$

$-{\frac {de\sin u}{1-e^{2}}}\left(2-e^{2}-e\cos u\right).$

L’anomalie $u$ de l’excentrique est donnée en fonction de l’anomalie vraie $v-\varpi$ au moyen des équations

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos(v-\varpi )}}=a(1-e\cos u),$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\cos u=&{\frac {e+\cos(v-\varpi )}{1+e\cos(v-\varpi )}},\\\sin u=&{\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(v-\varpi )}{1+e\cos(v-\varpi )}}\,;\end{aligned}}$

par conséquent,

${\frac {ed\varpi }{\sqrt {1-e^{2}}}}\left(2\cos u-e-e\cos ^{2}u\right)-{\frac {de\sin u}{1-e^{2}}}\left(2-e^{2}-e\cos u\right)$

$={\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {2\cos(v-\varpi )+e+e\cos ^{2}(v-\varpi )}{\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]^{2}}}ed\varpi$

$-{\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {2+e\cos(v-\varpi )}{\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]^{2}}}de\sin(v-\varpi ).$

Substituant pour $ed\varpi$ et $de$ leurs valeurs données à la fin de la