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le n^o 2, on aura

${\begin{aligned}d{\rm {Q}}=&-{\frac {du}{u^{2}}}\left(\cos v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial x}}+\sin v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial y}}+s{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial z}}\right)\\&-{\frac {dv}{u}}\left(\sin v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial x}}-\cos v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial y}}\right)\\&+{\frac {ds}{u}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial z}}\,;\end{aligned}}$

or on a

$d{\rm {Q}}={\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial u}}du+{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}dv+{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial s}}ds\,;$

en comparant ces deux valeurs de $d{\rm {Q}}$, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial u}}=&-{\frac {1}{u^{2}}}\left(\cos v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial x}}+\sin v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial y}}+s{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial z}}\right),\\{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}=&-{\frac {1}{u}}\left(\sin v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial x}}-\cos v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial y}}\right),\\{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial s}}=&{\frac {1}{u}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial z}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$-{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial u}}-{\frac {s}{u}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial s}}={\frac {1}{u^{2}}}\left(\cos v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial x}}+\sin v{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial y}}\right).$

On a, par le n^o 2,

$x'={\frac {\cos v'}{u'}},\qquad y'={\frac {\cos v'}{u'}},\qquad z'={\frac {s'}{u'}},$

$v'$ étant ici la longitude de la Terre vue du Soleil. Si l’on prend pour plan fixe celui de l’écliptique en 1750, on pourra supposer $s'=0.$ Représentons par $r'dq'$ le petit arc décrit par la Terre dans l’instant $dt$, et qui est égal à ${\sqrt {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}}\,;$ cet arc est à celui que la Lune décrit par son mouvement relatif autour de la Terre à très-peu près dans le rapport de ${\frac {a'm}{a}}$ à l’unité, et par conséquent trente fois au moins plus considérable ; on a donc, à fort peu près,

${\sqrt {(dx'+dx)^{2}+(dy'+dy)^{2}+(dz'+dz)^{2}}}=r'dq'+{\frac {dx'dx}{r'dq'}}+{\frac {dy'dy}{r'dq'}}.$