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Si cette expression de ${\frac {r\delta r}{a^{2}}}$ est considérable, et si l’un des diviseurs $in'+(3-i)n,in'+(1-i)n$ est très-petit, comme cela a lieu dans la théorie de Jupiter troublé par Saturne, lorsque l’on suppose $i=5,\ 2n$ étant à très-peu près égal à $5n',$ la variabilité des éléments des orbites à une influence sensible sur cette expression ; il importe donc d’y avoir égard. Pour cela, nous mettrons l’équation difl^érentielle en $r\delta r$ sous cette forme

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}.r\delta r}{dt^{2}}}+n^{2}r\delta r&+n^{2}a^{2}{\rm {P}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon \right]\\&+n^{2}a^{2}{\rm {P'}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon \right].\end{aligned}}$

En l’intégrant et négligeant les termes dépendants des différences secondes et supérieures de ${\rm {P}}$ et de ${\rm {P',}}$ nous aurons

(B)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}&={\frac {n^{2}}{\left[in'+(3-i)n\right]\left[in'+(1-i)n\right]}}\\\\&\times \left\{{\begin{aligned}&\left[{\rm {P}}+{\frac {2\left[i(n'-n)+2n\right]{\frac {d{\rm {P}}'}{dt}}}{\left[in'+(3-i)n\right]\left[in'+(1-i)n\right]}}\right]\\&\qquad \qquad \times \cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon \right]\\\\+&\left[{\rm {P'}}+{\frac {2\left[i(n'-n)+2n\right]{\frac {d{\rm {P}}}{dt}}}{\left[in'+(3-i)n\right]\left[in'+(1-i)n\right]}}\right]\\&\qquad \qquad \times \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon \right]\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}\right.$

La formule (Y) du n^o 46 du Livre II deviendra, en y faisant $\mu =1,$

(C)

$\delta v={\frac {\left\{{\begin{aligned}&{\frac {2d(r\delta r)}{a^{2}.ndt}}-{\frac {1}{2}}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&{\rm {(F+G)}}e^{2}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi \right]\\&+{\rm {H}}ee'\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right]\end{aligned}}\right\}\\\\&+\left[{\frac {(6-3i)n^{2}}{\left[in'+(2-i)n\right]^{2}}}a{\rm {M}}+{\frac {2na^{2}{\frac {\partial M}{\partial a}}}{in'+(2-i)n}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right]\end{aligned}}\right\}}{\sqrt {1-e^{2}}}}$

En donnant à $i$ toutes les valeurs entières positives et négatives, en y comprenant zéro, on aura toutes les inégalités dans lesquelles le coefficient de $nt$ surpasse ou est surpassé par celui de $n't$ de deux unités.

Si le coefficient $in'+(2-i)n$ est très-petit, et si cette inégalité est très-sensible, comme cela a lieu dans la théorie d’Uranus troublé par Saturne, alors on mettra la partie de ${\rm {R}}$, dépendante de l’angle