en y comprenant zéro. Considérons d’abord la première forme. Elle donne dans
la fonction
![{\displaystyle \left({\frac {2(2-i)n}{in'+(2-i)n}}{\rm {M}}+a{\frac {\partial {\rm {M}}}{\partial a}}\right)\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6f7885fc64ff924c874d0ae8d4806954b959bc)
On a vu, dans le Livre II, que la partie de
qui dépend des angles
![{\displaystyle i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ce7a995834ee96350a1fb9bad5159b57fc62d8)
et
![{\displaystyle \quad i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172766baa9bb3f4ed012f20d51522587ff74914f)
est de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {F}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +e{\rm {G}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +e'{\rm {H}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a39391fc004869e2171f9a0b14e57535c485ce)
la fonction
![{\displaystyle 3n^{2}a\delta r\left[e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )+e^{2}\cos(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c64c53682e35418ef8cbb40b2272d4c82b5d162)
produira donc la suivante
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}n^{2}a^{2}\left\{{\begin{aligned}&{\rm {(F+G)}}e^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi \right]\\&\qquad +{\rm {H}}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right]\end{aligned}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ff7c1e7e51260756eee0c4c4154a1bd7243f79)
ainsi, en n’ayant égard qu’aux termes dépendants de l’angle
![{\displaystyle i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6249a64ba869a3f123d871db59f2eb9b1ad254ab)
et en observant que, si l’on fait
, ce qui revient à prendre pour unité de masse celle du Soleil, en négligeant la masse de la planète, on a
l’équation différentielle en
devient
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}.r\delta r}{dt^{2}}}+n^{2}.r\delta r+{\frac {3}{2}}n^{2}a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcbfac197031f7989dd2ca4fc56e2d2400abd77)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&{\rm {(F+G)}}e^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi \right]\\&\qquad +{\rm {H}}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right]\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bed8e9b0d3bfc2f1df85604aff2bb60f7cebde)
![{\displaystyle +n^{2}a^{2}\left({\frac {2(2-i)n}{in'+(2-i)n}}a{\rm {M}}+a^{2}{\frac {\partial {\rm {M}}}{\partial a}}\right)\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750dd1bd03c12a2e40af492c1297775e056a7d0a)
d’où l’on tire, en intégrant,
(A)
![{\displaystyle {\frac {r\delta r}{a^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d57a79be1bcd7c82e1ff4b1a798ca4751a0005)
![{\displaystyle {\frac {\left\{{\begin{aligned}&{\frac {3}{2}}n^{2}\left\{{\begin{aligned}&{\rm {(F+G)}}e^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi \right]\\&\qquad +{\rm {H}}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right]\end{aligned}}\right\}\\\\+&\left({\frac {2(2-i)n}{in'+(2-i)n}}a{\rm {M}}+a^{2}{\frac {\partial {\rm {M}}}{\partial a}}\right)n^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right]\end{aligned}}\right\}}{\left[in'+(3-i)n\right]\left[in'+(1-i)n\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87811b379d30ce2cc8af1645e8a8fb6d857c670e)