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en y comprenant zéro. Considérons d’abord la première forme. Elle donne dans $2\int d{\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}$ la fonction

$\left({\frac {2(2-i)n}{in'+(2-i)n}}{\rm {M}}+a{\frac {\partial {\rm {M}}}{\partial a}}\right)\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right].$

On a vu, dans le Livre II, que la partie de ${\frac {\delta r}{a}}$ qui dépend des angles

$i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\quad$et$\quad i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon$

est de cette forme

${\begin{aligned}&{\rm {F}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +e{\rm {G}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +e'{\rm {H}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right]\end{aligned}}$

la fonction

$3n^{2}a\delta r\left[e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )+e^{2}\cos(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\right]$

produira donc la suivante

${\frac {3}{2}}n^{2}a^{2}\left\{{\begin{aligned}&{\rm {(F+G)}}e^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi \right]\\&\qquad +{\rm {H}}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right]\end{aligned}}\right\}\,;$

ainsi, en n’ayant égard qu’aux termes dépendants de l’angle

$i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt,$

et en observant que, si l’on fait $\mu =1$, ce qui revient à prendre pour unité de masse celle du Soleil, en négligeant la masse de la planète, on a $n^{2}a^{2}=1\,;$ l’équation différentielle en $r\delta r$ devient

$0={\frac {d^{2}.r\delta r}{dt^{2}}}+n^{2}.r\delta r+{\frac {3}{2}}n^{2}a^{2}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&{\rm {(F+G)}}e^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi \right]\\&\qquad +{\rm {H}}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right]\end{aligned}}\right\}$

$+n^{2}a^{2}\left({\frac {2(2-i)n}{in'+(2-i)n}}a{\rm {M}}+a^{2}{\frac {\partial {\rm {M}}}{\partial a}}\right)\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right].$

d’où l’on tire, en intégrant,

(A) ${\frac {r\delta r}{a^{2}}}=$

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&{\frac {3}{2}}n^{2}\left\{{\begin{aligned}&{\rm {(F+G)}}e^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -2\varpi \right]\\&\qquad +{\rm {H}}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right]\end{aligned}}\right\}\\\\+&\left({\frac {2(2-i)n}{in'+(2-i)n}}a{\rm {M}}+a^{2}{\frac {\partial {\rm {M}}}{\partial a}}\right)n^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right]\end{aligned}}\right\}}{\left[in'+(3-i)n\right]\left[in'+(1-i)n\right]}}$