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inégalités du même ordre que celles que nous venons de considérer. Pour le faire voir, considérons le terme ${\frac {m'u'^{3}}{2h^{2}u^{3}}},$ qui, par le n^o 6, fait partie de la seconde des équations (L) du n^o 1. Soit

${\frac {\rm {P}}{m'}}{\rm {K}}\cos({\text{ϐ}}'n''t-{\text{ϐ}}n't+{\rm {B)}}$

un terme quelconque de ${\frac {\delta r'}{a'}},$ résultant de l’action de ${\rm {P}}$ sur la Terre, $n''t$ exprimant le moyen mouvement de ${\rm {P}}$, et $n't$ étant celui de la Terre ; le terme correspondant d ${\frac {\delta u'}{u'}}$ sera

$-{\frac {\rm {P}}{m'}}{\rm {K}}\cos({\text{ϐ}}'n''t-{\text{ϐ}}n't+{\rm {B)\,;}}$

ainsi le terme ${\frac {m'u'^{3}}{2h^{2}u^{3}}}$ produit le suivant,

$-{\frac {3{\rm {P}}u'^{3}}{2h^{2}u^{3}}}\cos({\text{ϐ}}'n''t-{\text{ϐ}}n't+{\rm {B).}}$

Si l’on ne considère que les inégalités de ${\frac {\delta r'}{a'}}$ indépendantes des excentricités des orbites, et qu’on les représente par la série

${\frac {\rm {P}}{m'}}\left[{\begin{aligned}{\rm {K}}^{(1)}\cos(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')&+{\rm {K}}^{(2)}\cos 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')\\&+{\rm {K}}^{(3)}\cos 3(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')+\ldots \end{aligned}}\right],$

le terme, ${\frac {m'u'^{3}}{2h^{2}u^{3}}}$ produira, dans le second membre de l’équation (L’) du n^o 9, la fonction

$-{\frac {3m^{2}}{2a}}{\frac {\rm {P}}{m'}}\left[{\rm {K}}^{(1)}\cos(i-m)v+{\rm {K}}^{(2)}\cos 2(i-m)v+{\rm {K}}^{(3)}\cos 3(i-m)v+\ldots \right],$

d’où résulte dans $a\delta u$ la fonction

${\frac {3m^{2}}{2}}{\frac {\rm {P}}{m'}}\left[{\frac {{\rm {K}}^{(1)}\cos(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-(i-m)^{2}}}+{\frac {{\rm {K}}^{(2)}\cos 2(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-4(i-m)^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {{\rm {K}}^{(3)}\cos 3(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-9(i-m)^{2}}}+\ldots \right],$

et par conséquent, par le n^o 15, dans $nt+\varepsilon$ la fonction

(D) $-{\frac {3m^{2}}{i-m}}{\frac {\rm {P}}{m'}}\left[{\frac {{\rm {K}}^{(1)}\sin(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-(i-m)^{2}}}+{\frac {{\rm {K}}^{(2)}\sin 2(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-4(i-m)^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {{\rm {K}}^{(3)}\sin 3(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-9(i-m)^{2}}}+\ldots \right],$