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Or on a, par ce qui précède, ${\frac {m'a^{3}}{a'^{3}}}=m^{2},\ m'$ étant la masse du Soleil ; la fonction précédente devient ainsi

(A) ${\frac {{\frac {\rm {P}}{m'}}m^{2}a'^{3}}{i-m}}\left[{\frac {{\rm {A}}^{(1)}\sin(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-(i-m)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}{\rm {A}}^{(2)}\sin 2(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-4(i-m)^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {{\frac {1}{3}}{\rm {A}}^{(3)}\sin 3(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-9(i-m)^{2}}}+\ldots \right]$

Dans le cas d’une planète inférieure à la Terre, on a, en nommant a le rapport de la distance moyenne de la planète au Soleil, à celle du Soleil à la Terre, et conservant les dénominations du Chap. VI du Livre VI,

$a'^{3}{\rm {A}}^{(1)}=b_{\frac {3}{2}}^{(1)},\qquad a'^{3}{\rm {A}}^{(2)}=b_{\frac {3}{2}}^{(2)},\qquad a'^{3}{\rm {A}}^{(3)}=b_{\frac {3}{2}}^{(3)},\ldots ,$

ce qui change la fonction (A) dans celle-ci,

(B) ${\frac {{\frac {\rm {P}}{m'}}m^{2}}{i-m}}\left[{\frac {b_{\frac {3}{2}}^{(1)}\sin(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-(i-m)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}b_{\frac {3}{2}}^{(2)}\sin 2(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-4(i-m)^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {{\frac {1}{3}}b_{\frac {3}{2}}^{(3)}\sin 3(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-9(i-m)^{2}}}+\ldots \right]$

dans laquelle on peut prendre pour $(1-m)v$ la longitude moyenne de la planète, moins celle de la Terre.

Relativement à une planète supérieure, $\alpha$ exprime le rapport de la moyenne distance de la Terre au Soleil, à celle de la planète ; ainsi l’on a

$a'^{3}{\rm {A}}^{(1)}=\alpha ^{3}b_{\frac {3}{2}}^{(1)},\qquad a'^{3}{\rm {A}}^{(2)}=\alpha ^{3}b_{\frac {3}{2}}^{(2)},\qquad a'^{3}{\rm {A}}^{(3)}=\alpha ^{3}b_{\frac {3}{2}}^{(3)},\ldots ,$

ce qui change la fonction (A) dans celle-ci,

(C) ${\frac {{\frac {\rm {P}}{m'}}m^{2}\alpha ^{3}}{i-m}}\left[{\frac {b_{\frac {3}{2}}^{(1)}\sin(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-(i-m)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}b_{\frac {3}{2}}^{(2)}\sin 2(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-4(i-m)^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {{\frac {1}{3}}b_{\frac {3}{2}}^{(3)}\sin 3(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-9(i-m)^{2}}}+\ldots \right]$

Ce sont les seuls termes sensibles qui peuvent résulter de l’action directe de la planète ${\rm {P}}$ sur la Lune.

Mais l’action du Soleil sur la Lune peut rendre sensibles, dans le mouvement de ce satellite, les perturbations du rayon vecteur de l’orbe terrestre dues à l’action de ${\rm {P}}$ sur la Terre, et y produire des