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La partie de ${\rm {Q}}$ relative à l’action de ${\rm {P}}$ sur la Lune sera donc

${\frac {\rm {P}}{f}}-{\frac {{\frac {1}{2}}{\rm {P}}\left(1+s^{2}\right)}{u^{2}f^{3}}}+{\frac {3}{2}}{\rm {P}}{\frac {\left[{\rm {R}}\cos(v-{\rm {U}})-r'\cos(v-v')+{\rm {R}}s{\rm {S}}\right]^{2}}{u^{2}f^{3}}}+\ldots ,$

ou, en négligeant le carré de ${\rm {S}}$,

${\begin{aligned}&{\frac {\rm {P}}{f}}+{\frac {{\rm {P}}\left(1-2s^{2}\right)}{4u^{2}f^{3}}}\\&+3{\rm {P}}.{\frac {{\rm {R^{2}}}\cos(2v-2{\rm {U}})+2r'^{2}\cos(2v-2v')-2{\rm {R}}r'\cos(2v-{\rm {U}}-v')}{4u^{2}f^{5}}}\\&+3{\rm {P}}.{\frac {{\rm {R}}s{\rm {S}}\left[{\rm {R}}\cos(v-{\rm {U}})-r'\cos(v-v')\right]}{u^{2}f^{5}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Le terme ${\frac {\rm {P}}{f}}$ ne renfermant ni $u,$ ni $v,$ ni $s,$ il n’entre point dans les équations (L) du n^o 1. Le terme ${\frac {\rm {P}}{4u^{2}f^{3}}}$ donne par son développement une fonction de la forme

${\frac {\rm {P}}{4u^{2}}}\left[{\frac {1}{2}}{\rm {A}}^{(0)}+{\rm {A}}^{(1)}\cos({\rm {U}}-v')+{\rm {A}}^{(2)}\cos 2({\rm {U}}-v')+\ldots \right].$

Le terme $-{\frac {1}{h^{2}}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial u}}$ de la seconde des équations (L) du n^o 1 donne ainsi la fonction

${\frac {\rm {P}}{2h^{2}u^{3}}}\left[{\frac {1}{2}}{\rm {A}}^{(0)}+{\rm {A}}^{(1)}\cos({\rm {U}}-v')+{\rm {A}}^{(2)}\cos 2({\rm {U}}-v')+\ldots \right].$

De là il est facile de conclure, par les n^o 9 et 10, qu’il en résulte dans l’expression de $au$ la fonction

$-{\frac {1}{2}}{\rm {P}}a^{3}\left[{\frac {{\rm {A}}^{(1)}\cos(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-(i-m)^{2}}}+{\frac {{\rm {A}}^{(2)}\cos 2(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-4(i-m)^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {{\rm {A}}^{(3)}\cos 3(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-9(i-m)^{2}}}+\ldots \right],$

$i$ étant le rapport du moyen mouvement de ${\rm {P}}$ à celui de la Lune. De là résulte, par le n^o 15, dans $ndt$ la fonction

${\rm {P}}a^{3}dv\left[{\frac {{\rm {A}}^{(1)}\cos(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-(i-m)^{2}}}+{\frac {{\rm {A}}^{(2)}\cos 2(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-4(i-m)^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {{\rm {A}}^{(3)}\cos 3(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-9(i-m)^{2}}}+\ldots \right],$

et par conséquent dans $nt+\varepsilon$ la fonction

${\frac {{\rm {P}}a^{3}}{i-m}}\left[{\frac {{\rm {A}}^{(1)}\cos(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-(i-m)^{2}}}+{\frac {{\rm {A}}^{(2)}\cos 2(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-4(i-m)^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {{\rm {A}}^{(3)}\cos 3(i-m)v}{1-{\frac {3}{2}}m^{2}-9(i-m)^{2}}}+\ldots \right].$