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CHAPITRE III.

des inégalités de la lune dues à l’action des planètes.

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22. Il nous reste à considérer l’action des planètes sur la Lune. Si l’on nomme ${\rm {P}}$ la masse d’une planète, ${\rm {X,Y,Z}}$ ses coordonnées rapportées au centre de la Terre, $f$ sa distance à ce centre, il est visible, par le n^o 1, que la valeur de ${\rm {Q}}$ sera augmentée, par l’action de ${\rm {P}}$, de la quantité

$-{\frac {{\rm {P}}(x{\rm {X}}+y{\rm {Y}}+z{\rm {Z}})}{f^{3}}}+{\frac {\rm {P}}{\sqrt {({\rm {X}}-x)^{2}+({\rm {Y}}-y)^{2}+({\rm {Z}}-z)^{2}}}},$

ou

${\frac {\rm {P}}{f}}-{\frac {{\frac {1}{2}}{\rm {P}}r^{2}}{f^{3}}}+{\frac {3}{2}}{\rm {P}}{\frac {({\rm {X}}x+{\rm {Y}}y+{\rm {Z}}z)^{2}}{f^{5}}}+\ldots .$

Soient ${\rm {X',Y',Z'}}$ les coordonnées de ${\rm {P}}$, rapportées au centre du Soleil, $x',y',z'$ étant celles de la Terre ; on aura

${\rm {X=X}}'-x',\qquad {\rm {Y=Y}}'-y',\qquad {\rm {Z=Z}}'-z',$

ce qui change la fonction précédente dans celle-ci,

${\frac {\rm {P}}{f}}-{\frac {{\frac {1}{2}}{\rm {P}}r^{2}}{f^{3}}}+{\frac {3}{2}}{\rm {P}}{\frac {({\rm {X}}'x+{\rm {Y}}'y+{\rm {Z'}}z-xx'-yy'-zz')^{2}}{f^{5}}}+\ldots .$

Prenons pour plan fixe celui de l’écliptique, ce qui rend $z'$ nul, et nommons ${\rm {R}}$ le rayon vecteur de la planète ${\rm {P}}$ projeté sur ce plan, ${\rm {U}}$ l’angle formé par cette projection et par une droite fixe prise sur le même plan, et ${\rm {S}}$ la tangente de la latitude héliocentrique de ${\rm {P.}}$ Nommons encore $r'$ le rayon vecteur de la Terre, $v'$ l’angle formé par ce rayon et par la droite fixe ; on aura

$f={\rm {R^{2}\left(1+S^{2}\right)}}+r'^{2}-2{\rm {R}}r'\cos({\rm {U}}-v')$