Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 3.djvu/303

Ainsi l’on a

$({\rm {M}}+m){\frac {\delta {\rm {V'}}}{m}}={\frac {9}{16\pi }}{\frac {1}{r^{3}\int \rho d.a^{3}}}$

$\times {\rm {\left[(2C-A-B)\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)+(B-A)\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi \right].}}$

On a à très-peu près, par le n^o 2 du Livre V,

${\rm {C}}={\frac {8\pi }{15}}\int \rho d.a^{5}$

partant,

$({\rm {M}}+m){\frac {\delta {\rm {V'}}}{m}}={\frac {3}{10}}{\frac {\int \rho d.a^{5}}{\int \rho d.a^{3}}}{\frac {1}{r^{3}}}$

$\times {\rm {\left[{\frac {(2C-A-B)}{C}}\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)+{\frac {B-A}{C}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi \right].}}$

Dans cette dernière expression, $\varpi$ est l’angle que le rayon mené du centre de la Terre à celui de la Lune fait avec l’axe principal de ce satellite dirigé vers cette planète ; $\mu$ est le sinus de la déclinaison de la Terre vue de la Lune, par rapport à l’équateur lunaire. Il est clair que, l’angle $v$ croissant de $dv,$ l’angle $\varpi$ croît de $dv\,;$ on a donc

$\operatorname {d} .\cos 2\varpi =-2dv\sin 2\varpi ,$

la caractéristique différentielle $\operatorname {d}$ se rapportant aux seules coordonnées de la Lune ; de plus, on a, par le n^o 46 du Livre II,

${\rm {R=-Q}}+{\frac {1}{r}}\,;$

la partie de $\operatorname {d} {\rm {R}}$ relative à la non-sphéricité de la Lune, dans la formule (Y) du n^o 46 du Livre II, est ainsi, en négligeant le carré de $\mu$,

$\operatorname {d} {\rm {R}}={\frac {3}{5r^{3}}}{\frac {\int \rho d.a^{5}}{\int \rho d.a^{3}}}{\frac {\rm {B-A}}{\rm {C}}}dv\sin 2\varpi ,$

d’où résulte dans $\delta v,$ ou dans la longitude vraie de la Lune, par la formule (Y) du n^o 46 du Livre II, le terme

${\frac {9}{5}}{\frac {\int \rho d.a^{5}}{\int \rho d.a^{3}}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\rm {B-A}}{\rm {C}}}\iint dv^{2}\sin 2\varpi ,$

L’angle $\varpi$ est toujours très-petit, par le n^o 16 du Livre V, en sorte