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autour du centre de gravité de la Terre en vertu des forces qui produisent ces deux inégalités, si toutes les molécules de la Terre et de la Lune étaient fixement liées entre elles, la Lune compensant la petitesse des forces qui l’animent par la longueur du levier auquel elle serait attachée.

21. Pour avoir égard à la non-sphéricité de la Lune, nous observerons que, par le n^o 1, elle introduit dans ${\rm {Q}}$ le terme $({\rm {M}}+m){\frac {\delta {\rm {V'}}}{m}},$ ou plus simplement ${\frac {\delta {\rm {V'}}}{m}},$ parce que nous supposons ${\rm {M}}+m=1.$ On a, par le n^o 14 du Livre III,

$\delta {\rm {V}}'={\frac {4\alpha \pi }{5r^{3}}}\int \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right),$

l’intégrale étant prise depuis $a=0$ jusqu’à $a$ égal au demi-diamètre de la Lune, que nous désignerons par $a$, et $\rho$ étant ici la densité des couches de la Lune. On a, de plus, $m={\frac {4}{3}}\pi \int \delta d.a^{3}\,;$ on a donc

$({\rm {M}}+m){\frac {\delta {\rm {V'}}}{m}}={\frac {3\alpha \int \rho d(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}}{5r^{3}\int \rho d.a^{3}}}.$

Pour déterminer $\int \rho d(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)},$ nous observerons que l’on a, par le n^o 32 du Livre III, pour ${\rm {Y}}^{(2)}$ une expression de cette forme,

${\begin{aligned}{\rm {Y}}^{(2)}=h'\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)&+h''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +h'''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \\&+h^{\rm {iv}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin 2\varpi +h^{\rm {v}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos 2\varpi .\end{aligned}}$

Ensuite les propriétés des axes de rotation donnent, par le n^o 32 du Livre III,

$0=\int \rho d\left(a^{5}h''\right),\qquad 0=\int \rho d\left(a^{5}h'''\right),\qquad 0=\int \rho d\left(a^{5}h^{\rm {iv}}\right),$

et par le n^o 2 du Livre V, on a

${\begin{aligned}{\rm {2C-A-B}}&={\frac {16}{15}}\alpha \pi \int \rho d\left(a^{5}h'\right),\\{\rm {B-A}}&={\frac {16}{15}}\alpha \pi \int \rho d\left(a^{5}h^{\rm {v}}\right).\end{aligned}}$