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Ainsi, l’expression de cette aire renferme l’inégalité

${\frac {1}{2}}r^{2}dv{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-1}}{\frac {D^{2}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(gv-fv-\theta )\,;$

et comme on a $r^{2}dv=a^{2}dt$ à fort peu près, en représentant par $dt$ le moyen mouvement de la Lune, cette inégalité est égale à

${\frac {1}{2}}{\rm {D}}^{2}dt{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-1}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(gv-fv-\theta ).$

En la multipliant parla masse de la Lune, que nous exprimerons ici par ${\rm {L}}$, et en la divisant par $dt$, le double de ce quotient sera le moment de la force de la Lune par rapport au centre de gravité de la Terre, et due à la non-sphéricité de cette planète, ce qui donne, pour ce moment,

(i)

${\rm {LD}}^{2}{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-1}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(gv-fv-\theta ).$

En vertu de l’égalité de l’action à la réaction, la même cause doit produire, dans les molécules de la Terre, un moment égal et contraire au précédent. Ce moment est indiqué par la nutation de l’axe terrestre : déterminons sa valeur par les formules du n^o 6 du Livre V. On a vu, dans le numéro cité, que, si l’on représente par ${\rm {V}}$ l’obliquité de l’écliptique à l’équateur, l’action de la Lune sur la Terre produit, en vertu de la non-sphéricité de cette planète, un accroissement dans cet angle, égal à

${\frac {l\lambda }{(1+\lambda )(g-1)}}\gamma \cos(gv-fv-\theta ),$

$l$ et $\lambda$ étant les mêmes que dans le numéro cité. L’élément du mouvement de rotation de la Terre étant supposé $ndt,$ la somme des moments des forces qui animent chaque molécule de la Terre, multipliées par la masse de cette molécule, est égale à $n{\rm {C,\ C}}$ étant le moment d’inertie de la Terre par rapport à son axe de rotation. Pour rapporter ce moment à l’écliptique, il faut le multiplier par le cosinus de son obliquité, ou par

$\cos \left[{\rm {V}}+{\frac {l\lambda }{(1+\lambda )(g-1)}}\gamma \cos(gv-fv-\theta )\right]\,;$