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droite fixe, il faut ajouter à l’expression précédente de $d\delta v$ le terme

${\frac {1}{2}}dv\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(gv-fv-\theta ),$

ce qui donne

$d\delta v=-{\frac {19}{2}}dv\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(gv-fv-\theta ),$

et, en intégrant,

$\delta v=-{\frac {19}{2}}{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-1}}{\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \sin(gv-fv-\theta ).$

C’est la seule inégalité sensible du mouvement de la Lune en longitude, due à la non-sphéricité de la Terre. On doit observer que $fv-gv+\theta$ exprime la longitude du nœud ascendant de l’orbite, comptée de l’équinoxe mobile du printemps. Il suit de là que l’expression de la longitude vraie en fonction de la longitude moyenne renferme l’inégalité

${\frac {19}{2}}{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-1}}{\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \sin$(longitude du nœud ascendant).

Le coefficient de cette inégalité est $17''{,}135,$ si $\rho ={\frac {1}{334}}\,;$ il s’élève à $35''{,}490,$ si $\rho ={\frac {1}{230}}.$

La non-sphéricité de la Terre influe encore sur les mouvements du périgée et des nœuds de l’orbite lunaire. En effet, la valeur de ${\rm {Q}}$ étant par là augmentée de la quantité

$\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right)\left(1-{\frac {3}{2}}s^{2}\right)\times$

$\left[{\frac {1}{3}}-\left(1-s^{2}\right)\sin ^{2}s\lambda \sin ^{2}sfv-2s\sin \lambda \cos \lambda \sin fv-s^{2}\cos ^{2}\lambda \right]{\rm {D}}^{2}u^{3},$

il en résulte, dans la seconde des équations (L) du n^o 1, le terme

$-{\frac {\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\rm {D}}^{2}u^{2}}{h^{2}}}\left(1-{\frac {3}{2}}\sin ^{2}\lambda \right).$

En y substituant pour $u$ sa valeur approchée ${\frac {1}{a}}\left[1+e\cos(cv-\varpi )\right],$ et observant que $h^{2}$ est à très-peu près égal à $a$, on aura, dans l’équation