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$\gamma \sin(gv-\theta ),$ on aura le terme

$-7\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{r^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(gv-fv-\theta ),$

qui, ajouté au terme que nous venons de trouver pour $3\int \delta \operatorname {d} {\rm {R}}+2\delta .r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}},$ donne dans $d\delta v$ le terme

$-{\frac {10dt^{2}\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right)}{r^{2}dv}}{\frac {\rm {D^{2}}}{r^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(gv-fv-\theta ).$

On peut, dans ce terme, substituer $a$ pour $r$, et $dv$ pour $ndt\,;$ en observant ensuite que $n^{2}a^{2}=1,$ il devient

$-10dv\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(gv-fv-\theta ).$

Cette valeur de $d\delta v$ est, par le n^o 46 du Livre II, relative à l’angle compris entre les deux rayons vecteurs consécutifs $r$ et $r+dr\,;$ or, si l’on nomme $dv_{\text{ı}}$ cet angle, $dv$ représentant alors sa projection sur le plan de l’écliptique, on a, par le numéro cité.

$dv=dv_{\text{ı}}{\frac {\sqrt {\left(1+s^{2}\right)^{2}-{\frac {ds^{2}}{dv^{2}}}}}{\sqrt {1+s^{2}}}},$

ou, à très-peu près,

$dv=dv_{\text{ı}}\left(1+{\frac {1}{2}}s^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {ds^{2}}{dv^{2}}}\right).$

En substituant, pour $s,$

$\gamma \sin(gv-\theta )-{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-1}}{\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda \sin fv,$

on aura

$dv=dv_{\text{ı}}\left[1+{\frac {1}{2}}\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\gamma \sin \lambda \cos \lambda \cos(gv-fv-\theta )+\ldots \right].$

On voit donc que, pour avoir la valeur de $d\delta v,$ relative à l’angle $v$ formé par la projection du rayon vecteur $r$ sur l’écliptique avec une