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Il n’en est pas de même de l’expression de la longitude. La formule (T) du n^o 46 du Livre II donne, dans $d\delta v,$ la fonction

${\frac {3dt^{2}\int \delta \operatorname {d} {\rm {R}}+2dt^{2}.\delta .r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}}{r^{2}dv}}$

En y substituant pour $\delta {\rm {R}}$ le terme qu’il représente, on aura, dans $d\delta v,$ le terme

$-{\frac {3dt^{2}\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right)}{r^{2}dv}}{\frac {\rm {D^{2}}}{r^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(gv-fv-\theta ).$

Mais ce terme n’est pas le seul de ce genre qui entre dans l’expression de $d\delta v.$ L’action du Soleil donne, par le n^o 3, dans ${\rm {Q}}$, le terme

${\frac {m'u'^{3}}{4u^{2}}}\left(1-2s^{2}\right).$

En y substituant, pour $u,\ frac{\sqrt {1+s^{2}}}{r},$ on aura, dans ${\rm {R}}$, le terme

$-{\frac {m'u'^{3}r^{2}}{4}}\left(1-3s^{2}\right).$

ce qui donne, dans $\delta {\rm {R,}}$ le terme

${\frac {3m'u'^{3}r^{2}}{2}}s\delta s,$

et par conséquent, dans la fonction $3\int \delta \operatorname {d} {\rm {R}}+2\delta .r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}$ le terme

${\frac {21m'u'^{3}r^{2}}{2}}s\delta s.$

On a à très-peu près $m'u'^{3}r^{3}=m^{2},$ et, par le n^o 13, $g^{2}$ est à fort peu près égal à $1+{\frac {3}{2}}m^{2},$ ce qui donne $g$ égal à $1+{\frac {3}{4}}m^{2}\,;$ le terme précédent devient ainsi

${\frac {14(g-1)s\delta s}{r}}.$

En substituant, pour $\delta s,-{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-1}}{\frac {\rm {D^{2}}}{r^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda \sin fv,$ et pour $s,$