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est la même que dans l’hypothèse elliptique et d’une ellipticité égale à ap ; mais, dans le cas général d’un sphéroïde quelconque, $\alpha \rho$ n’exprime plus son aplatissement. On peut donc supposer, dans ce cas général, que la valeur de ${\rm {Q}}$ du n^o 1 s’accroît, par la considération de la non-sphéricité de la Terre, de la fonction

$\left({\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha \rho \right){\frac {\rm {D^{2}}}{r^{3}}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$

${\rm {M}}+m$ étant pris pour l’unité de masse.

Considérons d’abord la variation de l’orbite, ou le mouvement de la Lune en latitude, dépendant de cette cause. Si l’on nomme l’obliquité de l’écliptique sur l’équateur, et si l’on fixe l’origine de l’angle $v$ à l’équinoxe du printemps d’une époque donnée, on aura, à très-peu près,

$\mu =\sin \lambda {\sqrt {1-s^{2}}}\sin fv+s\cos \lambda ,$

$fv$ étant la longitude vraie de la Lune, rapportée à l’équinoxe mobile du printemps. Il faut ainsi ajouter à la valeur de ${\rm {Q}}$ la fonction

$\left({\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha \rho \right){\frac {\rm {D^{2}}}{r^{3}}}$

$\times \left[\sin ^{2}\lambda \left(1-s^{2}\right)\sin ^{2}fv+2s\sin \lambda \cos \lambda \sin fv+s^{2}\cos ^{2}\lambda -{\frac {1}{3}}\right].$

Cela posé, reprenons la troisième des équations (L) du n^o 1. Nous avons développé, dans les n^o 11, 12 et 13, les divers termes de cette équation dus à l’action du Soleil ; il est facile de voir que la fonction précédente lui ajoute la quantité

${\frac {2\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right)}{h^{2}}}{\rm {D}}^{2}u\sin \lambda \cos \lambda \sin fv+\left(g^{2}-1\right){\rm {H}}\sin fv,$

${\rm {H}}\sin fv$ désignant l’inégalité de $s$ dépendante de $\sin fv.$ On peut d’ailleurs se convaincre aisément que cette quantité est la seule sensible qui résulte de cette fonction. En l’ajoutant à l’équation différentielle du n^o 13, et observant que $f-1$ est extrêmement petit par rapport à $g-1,$ l’intégration donnera

${\rm {H}}={\frac {2\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right)}{1-g^{2}}}{\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda ,$