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19. Il nous reste à déterminer la troisième coordonnée de la Lune ou sa parallaxe. Le sinus de la parallaxe horizontale de la Lune est égal à ${\frac {\rm {D}}{r}}$ ou à ${\frac {{\rm {D}}u}{\sqrt {1+s^{2}}}},\ {\rm {D}}$ étant le rayon terrestre. Vu la petitesse de cette quantité, on peut la prendre pour l’expression de la parallaxe elle-même. En y substituant pour $u$ sa valeur

${\frac {1}{a}}\left[1+e^{2}+{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}+e\left(1+e^{2}\right)\cos(cv-\varpi )-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\cos(2gv-2\theta )\right]+\delta u$

et négligeant les termes de l’ordre ${\frac {\rm {D}}{a}}e^{4},$ on aura la parallaxe égale à

${\frac {\rm {D}}{a}}\left(1+e^{2}\right)$

$\times \left\{1+e\left[1-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}+{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\cos(2gv-2\theta )\right]\cos[cv-\varpi )-a\delta u-s\delta s\right\}.$

Pour déterminer ${\frac {\rm {D}}{a}},$ nous observerons que l’on a, par le n^o 10,

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{a_{\text{ı}}}}0{,}9973020,$

et par le n^o 15,

${\frac {a^{2}}{\sqrt {a_{\text{ı}}}}}.1{,}0003084={\frac {1}{n}},$

d’où l’on tire

${\frac {1}{a}}={\sqrt[{3}]{\frac {n^{2}(1{,}0003084)^{2}}{0{,}9973020}}}.$

Soit $2\varepsilon$ le double de l’espace que l’attraction terrestre ferait décrire dans le temps $t$, sur le parallèle dont le carré du sinus de latitude est ${\frac {1}{3}}.$ Cette attraction est ${\frac {\rm {M}}{\rm {D^{2}}}},$ par le n^o 35 du Livre III, la Terre ${\rm {M}}$ étant supposée elliptique. Mais on a fait précédemment

${\rm {M}}+m=1,$

$m$ étant ici la masse de la Lune ; on a donc

${\frac {{\rm {M}}t^{2}}{({\rm {M}}+m){\rm {D^{2}}}}}=2\varepsilon \,;$