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Si l’on désigne ensuite par

${\rm {C}}_{2}^{'(5)}e^{2}\sin(4v-4mv-2cv+2\varpi )$

le terme correspondant de $nt+\varepsilon ,$ on aura, par le n^o 15,

${\rm {C}}_{2}^{'(5)}={\frac {\left\{{\begin{aligned}&{\frac {-3m^{2}\left(5{\rm {A_{1}^{(1)}-2A_{1}^{(11)}}}\right)}{4(2-2m-c)}}-{\frac {27m^{4}}{64(1-m)}}{\frac {10+19m+8m^{2}}{2c-2+2m}}\\\\&-2{\rm {A}}_{3}^{'(5)}+3{\rm {A}}_{3}^{'(4)}+{\frac {3m^{2}}{4(1-m)}}{\rm {A}}_{1}^{(11)}-{\frac {3m^{2}{\rm {A}}_{1}^{(1)}}{2-2m-c}}\\\\&-{\frac {3m^{2}\left(10+19m+8m^{2}\right)}{8(2c-2+2m)}}{\rm {A}}_{2}^{(0)}\\\\&+{\rm {{\frac {3}{2}}\left(A_{1}^{(1)}\right)^{2}+3A_{2}^{(0)}A_{1}^{(11)}-6A_{1}^{(1)}A_{0}^{(0)}}}\end{aligned}}\right\}}{(4-4m-2c)^{2}-1}}.$^[1]

En réduisant ces formules en nombres, on trouve

${\rm {A}}_{3}^{'(5)}=0{,}00436374,\qquad {\rm {C}}_{2}^{'(5)}=0{,}0249067,$

ce qui donne, dans $nt+\varepsilon ,$ l’inégalité

$47''{,}71.\sin(4v-4mv-2cv+2\varpi ).$

La différence entre ce résultat et celui des Tables est insensible., et l’on voit par ce calcul que, pour rapprocher entièrement la théorie de l’observation à l’égard de toutes les inégalités lunaires, il suffirait de porter l’approximation jusqu’aux quantités du cinquième ordre. Cela résulte encore du calcul de l’inégalité dépendante de $\sin(v-mv),$ dans lequel nous avons eu égard aux quantités de cet ordre ; car on verra dans la suite que le résultat de notre analyse, comparé à celui des observations, donne à très-peu près la parallaxe du Soleil, que l’on a conclue des passages de Vénus sur cet astre.

L’inégalité dépendante de l’argument $cv-v+mv-\varpi$ peut être sensible, à cause de la petitesse du coefficient de $v$ dans cet argument. Pour la déterminer, désignons par

${\begin{aligned}&{\rm {A}}_{1}^{'(6)}{\frac {a}{a'}}e\cos(cv-v+mv-\varpi ),\\&{\rm {C}}_{1}^{'(6)}{\frac {a}{a'}}e\sin(cv-v+mv-\varpi )\end{aligned}}$

1. Selon Bowditch, le diviseur de $3m^{2}{\rm {A}}_{1}^{(1)}$ dans cette formule doit être $4-4m-c,$ au lieu de $2-2m-c.$ V. P.