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déterminer ce coefficient, en ayant égard aux quantités du cinquième ordre.

Désignons par

${\rm {A'}}_{3}^{(5)}e^{2}\cos(4v-4mv-2cv+2\varpi )$

le terme correspondant de $a\delta u\,;$ il est clair qu’il ne peut en résulter de semblables, dans l’équation différentielle en $u,$ que par la variation des termes de la seconde des équations (L) du n^o 1, dus à la force perturbatrice. Nous venons de donner les quatre variations de ces termes : la première ne produit aucun terme du cinquième ordre dépendant de $\cos(4v-4mv-2cv+2\varpi ).$ La seconde variation produit le terme

${\frac {9m^{2}}{4a_{\text{ı}}}}\left(2{\rm {A}}_{1}^{(1)}-{\rm {A}}_{1}^{(11)}\right)e^{2}\cos(4v-4mv-2cv+2\varpi ).$

Les termes du cinquième ordre, dépendants de $\cos(4v-4mv-2cv+2\varpi ),$ et produits par la troisième variation, se détruisent mutuellement, aux quantités près du sixième ordre. Enfin, la quatrième variation produit le terme

${\frac {3m^{2}}{2a_{\text{ı}}}}\left[{\frac {5{\rm {A_{1}^{(1)}-2A_{1}^{(11)}}}}{2-2m-c}}+{\frac {(1-2m)(3-2m)\left(10+19m+8m^{2}\right)}{4(2c-2+2m)}}{\rm {A}}_{2}^{(0)}\right.$

$\left.+{\frac {{\rm {A}}_{1}^{(11)}}{2-2m}}\right]e^{2}\cos \left({\begin{aligned}&4v-4mv\\-&2cv+2\varpi \end{aligned}}\right)$

L’équation différentielle en $u$ devient donc, en n’ayant égard qu’à ces termes,

$0={\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u+{\frac {3m^{2}}{2a_{\text{ı}}}}\left[{\begin{aligned}&3{\rm {A}}_{1}^{(1)}-{\frac {3}{2}}{\rm {A}}_{1}^{(11)}+{\frac {5{\rm {A_{1}^{(1)}-2A_{1}^{(11)}}}}{2-2m-c}}+{\frac {\rm {A_{1}^{(11)}}}{2-2m}}\\\\&+{\frac {(1-2m)(3-2m)\left(10+19m+8m^{2}\right)}{4(2c-2+2m)}}{\rm {A}}_{2}^{(0)}\end{aligned}}\right]$

$\times e^{2}\cos \left({\begin{aligned}&4v-4mv\\-&2cv+2\varpi \end{aligned}}\right).$

En substituant ${\rm {A'}}_{3}^{(5)}e^{2}\cos(4v-4mv-2cv+2\varpi )$ pour $a\delta u,$ on aura

${\rm {A'}}_{3}^{(5)}={\frac {3m^{2}}{2}}{\frac {\left\{{\begin{aligned}&3{\rm {A}}_{1}^{(1)}-{\frac {3}{2}}{\rm {A}}_{1}^{(11)}+{\frac {5{\rm {A_{1}^{(1)}-2A_{1}^{(11)}}}}{2-2m-c}}+{\frac {\rm {A_{1}^{(11)}}}{2-2m}}\\\\&+{\frac {(1-2m)(3-2m)\left(10+19m+8m^{2}\right)}{4(2c-2+2m)}}{\rm {A}}_{2}^{(0)}\end{aligned}}\right\}}{(4-4m-2c)^{2}-1}}.$