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Le mouvement rétrograde $(g-1)v$ du nœud de l’orbite lunaire est, par la théorie précédente, $0{,}0040105.v.$ Ce mouvement, par les observations, est égal à $0{,}00402175.v,$ ce qui ne diffère pas du précédent de sa trois cent cinquantième partie.

Ce mouvement du nœud est assujetti à une équation séculaire dont nous avons donné l’expression analytique dans le n^o 14. En la réduisant en nombres, elle devient

$0{,}735452.{\frac {3}{2}}m^{2}\int \left(e'^{2}-{\rm {E}}'^{2}\right)dv.$

Elle a un signe contraire à celle de la longitude moyenne de la Lune ; d’où il suit que les mouvements des nœuds et du périgée se ralentissent quand celui de la Lune s’accélère, et les équations séculaires de ces trois mouvements sont constamment dans le rapport des nombres $3{,}00052,\ 0{,}735452$ et $1.$ On doit donc, dans l’expression précédente de $nt+\varepsilon ,$ substituer, au lieu des angles $cv$ et $gv,$ les quantités

${\begin{aligned}cv&-3{,}00052.{\frac {3}{2}}m^{2}\int \left(e'^{2}-{\rm {E}}'^{2}\right)dv,\\gv&+0{,}735452.{\frac {3}{2}}m^{2}\int \left(e'^{2}-{\rm {E}}'^{2}\right)dv.\end{aligned}}$

L’équation séculaire de l’anomalie moyenne est ainsi

$-4{,}00052.{\frac {3}{2}}m^{2}\int \left(e'^{2}-{\rm {E}}'^{2}\right)dv,$

ou à très-peu près quadruple de celle du moyen mouvement.

17. Nous allons présentement déterminer quelques-unes des inégalités les plus sensibles du quatrième ordre. L’une de ces inégalités est relative à l’angle $2v-2mv-2gv+cv+2\theta -\varpi ,$ et nous avons déterminé précédemment la partie de $a\delta u$ qui dépend du cosinus de cet angle. On trouve ensuite, par le n^o 15, que l’expression de $nt+\varepsilon$ renferme l’inégalité

${\frac {-{\frac {3m^{2}(2+m)}{8(2g-2+2m)}}-2{\rm {A}}_{1}^{(16)}+3{\rm {A}}_{1}^{(13)}}{2-2m-2g+c}}e\gamma ^{2}\sin(2v-2mv-2gv+cv+2\theta -\varpi ).$

Cette inégalité, réduite en nombres, devient

$26''{,}77.\sin(2v-2mv-2gv+cv+2\theta -\varpi ).$