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Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 3.djvu/268
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On a de plus, par le n
o
16 du Livre II,
n
′
=
a
′
−
3
2
m
′
;
{\displaystyle n'=a'^{-{\frac {3}{2}}}{\sqrt {m'}}\,;}
partant
n
′
2
n
2
=
m
2
=
a
3
m
′
a
′
3
(
1
+
1
2
m
2
)
=
m
2
(
1
+
1
2
m
2
)
,
{\displaystyle {\frac {n'^{2}}{n^{2}}}=m^{2}={\frac {a^{3}m'}{a'^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2}}m^{2}\right)=m^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}m^{2}\right),}
d’où l’on tire
m
2
=
m
2
(
1
−
1
2
m
2
)
,
m
2
a
a
ı
=
m
2
.
{\displaystyle m^{2}=m^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}m^{2}\right),\qquad m^{2}{\frac {a}{a_{\text{ı}}}}=m^{2}.}
Supposons maintenant que l’on ait
n
t
+
ε
=
v
+
3
2
m
2
∫
(
e
′
2
−
E
′
2
)
d
v
+
C
0
(
0
)
e
sin
(
c
v
−
ϖ
)
+
C
0
(
1
)
e
2
sin
(
2
c
v
−
2
ϖ
)
+
C
0
(
2
)
e
3
sin
(
3
c
v
−
3
ϖ
)
+
C
0
(
3
)
γ
2
sin
(
2
g
v
−
2
θ
)
+
C
0
(
4
)
e
γ
2
sin
(
2
g
v
−
c
v
−
2
θ
+
ϖ
)
+
C
0
(
5
)
e
γ
2
sin
(
2
g
v
+
c
v
−
2
θ
−
ϖ
)
+
C
2
(
6
)
sin
(
2
v
−
2
m
v
)
+
C
1
(
7
)
e
sin
(
2
v
−
2
m
v
−
c
v
+
ϖ
)
+
C
2
(
8
)
e
sin
(
2
v
−
2
m
v
+
c
v
−
ϖ
)
+
C
2
(
9
)
e
′
sin
(
2
v
−
2
m
v
+
c
′
m
v
−
ϖ
′
)
+
C
2
(
10
)
e
′
sin
(
2
v
−
2
m
v
−
c
′
m
v
+
ϖ
′
)
+
C
1
(
11
)
e
sin
(
c
′
m
v
−
ϖ
′
)
+
C
1
(
12
)
e
e
′
sin
(
2
v
−
2
m
v
−
c
v
+
c
′
m
v
+
ϖ
−
ϖ
′
)
+
C
1
(
13
)
e
e
′
sin
(
2
v
−
2
m
v
−
c
v
−
c
′
m
v
+
ϖ
+
ϖ
′
)
+
C
1
(
14
)
e
e
′
sin
(
c
v
+
c
′
m
v
−
ϖ
−
ϖ
′
)
+
C
1
(
15
)
e
e
′
sin
(
c
v
−
c
′
m
v
−
ϖ
+
ϖ
′
)
+
C
1
(
16
)
e
2
sin
(
2
c
v
−
2
v
+
2
m
v
−
2
ϖ
)
+
C
1
(
17
)
γ
2
sin
(
2
g
v
−
2
v
+
2
m
v
−
2
θ
)
+
C
1
(
18
)
e
′
2
sin
(
2
c
′
m
v
−
2
ϖ
′
)
+
C
1
(
19
)
a
a
′
sin
(
v
−
m
v
)
+
C
1
(
20
)
a
a
′
e
′
sin
(
v
−
m
v
+
c
′
m
v
−
ϖ
′
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}nt+\varepsilon =v&+{\frac {3}{2}}m^{2}\int \left(e'^{2}-{\rm {E}}'^{2}\right)dv\\&+{\rm {C}}_{0}^{(0)}e\sin(cv-\varpi )\\&+{\rm {C}}_{0}^{(1)}e^{2}\sin(2cv-2\varpi )\\&+{\rm {C}}_{0}^{(2)}e^{3}\sin(3cv-3\varpi )\\&+{\rm {C}}_{0}^{(3)}\gamma ^{2}\sin(2gv-2\theta )\\&+{\rm {C}}_{0}^{(4)}e\gamma ^{2}\sin(2gv-cv-2\theta +\varpi )\\&+{\rm {C}}_{0}^{(5)}e\gamma ^{2}\sin(2gv+cv-2\theta -\varpi )\\&+{\rm {C}}_{2}^{(6)}\sin(2v-2mv)\\&+{\rm {C}}_{1}^{(7)}e\sin(2v-2mv-cv+\varpi )\\&+{\rm {C}}_{2}^{(8)}e\sin(2v-2mv+cv-\varpi )\\&+{\rm {C}}_{2}^{(9)}e'\sin(2v-2mv+c'mv-\varpi ')\\&+{\rm {C}}_{2}^{(10)}e'\sin(2v-2mv-c'mv+\varpi ')\\&+{\rm {C}}_{1}^{(11)}e\sin(c'mv-\varpi ')\\&+{\rm {C}}_{1}^{(12)}ee'\sin(2v-2mv-cv+c'mv+\varpi -\varpi ')\\&+{\rm {C}}_{1}^{(13)}ee'\sin(2v-2mv-cv-c'mv+\varpi +\varpi ')\\&+{\rm {C}}_{1}^{(14)}ee'\sin(cv+c'mv-\varpi -\varpi ')\\&+{\rm {C}}_{1}^{(15)}ee'\sin(cv-c'mv-\varpi +\varpi ')\\&+{\rm {C}}_{1}^{(16)}e^{2}\sin(2cv-2v+2mv-2\varpi )\\&+{\rm {C}}_{1}^{(17)}\gamma ^{2}\sin(2gv-2v+2mv-2\theta )\\&+{\rm {C}}_{1}^{(18)}e'^{2}\sin(2c'mv-2\varpi ')\\&+{\rm {C}}_{1}^{(19)}{\frac {a}{a'}}\sin(v-mv)\\&+{\rm {C}}_{1}^{(20)}{\frac {a}{a'}}e'\sin(v-mv+c'mv-\varpi ').\end{aligned}}}
