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La partie non périodique du second membre de cette équation est

${\frac {a^{2}dv}{\sqrt {a_{\text{ı}}}}}\left\{{\begin{aligned}1+{\frac {27m^{4}}{64(1-m)^{2}}}+{\frac {3m^{2}{\rm {A}}_{2}^{(0)}}{4(1-m)}}+{\frac {3}{2}}\left[\left({\rm {A}}_{2}^{(0)}\right)^{2}+\left({\rm {A}}_{1}^{(1)}e\right)^{2}\right]\end{aligned}}\right\}.$

Le coefficient de $dv$ dans cette fonction n’est pas rigoureusement constant. On a vu, dans le n^o 10, que l’expression de ${\frac {1}{a}}$ contient le terme $-{\frac {3m^{2}e'^{2}}{4a_{\text{ı}}}},$ ce qui donne dans $a^{2}$ le terme ${\frac {3}{2}}m^{2}a_{\text{ı}}^{2}e'^{2}\,;$ ainsi la quantité ${\frac {a^{2}dv}{\sqrt {a_{\text{ı}}}}}$ contient le terme ${\frac {3}{2}}a_{\text{ı}}^{\frac {3}{2}}dv.m^{2}e'^{2}\,;$ or on a, à très-peu près, $a_{\text{ı}}^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{n}},\ {\rm {m}}^{2}=m^{2}\,;$ l’expression du temps $t$ contient donc le terme ${\frac {3m^{2}}{2n}}\int e'^{2}dv,$ et par conséquent la valeur de la longitude vraie de la Lune, en fonction de sa longitude moyenne, contient le terme $-{\frac {3}{2}}m^{2}\int e'^{2}dv,$ ou $-{\frac {3}{2}}m^{2}\int ndte'^{2}\,;$ d’où il suit que les trois équations séculaires des longitudes moyennes de la Lune, de son périgée et de ses nœuds sont entre elles comme les trois quantités $3m^{2},\ {\frac {-q}{\sqrt {1-p}}},$${\frac {q''}{\sqrt {1+p''}}}.$ À la vérité, les termes dépendants du carré de la force perturbatrice changent un peu cette valeur de l’équation séculaire de la longitude moyenne ; mais il est aisé de voir que les termes de cet ordre, qui ont une influence très-sensible sur l’équation séculaire du périgée, n’en ont qu’une très-petite et insensible sur celle du moyen mouvement.

La partie non périodique de ${\frac {dv}{dt}}$ est égale à ${\frac {1}{n}}$ et, si l’on néglige les quantités de l’ordre $m^{4}$ ce coefficient est ${\frac {a^{2}}{\sqrt {a_{\text{ı}}}}}.$ On a ensuite, par le n^o 10,

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{a_{\text{ı}}}}\left(1-{\frac {1}{2}}m^{2}\right),$

ce qui donne

${\frac {a}{a_{\text{ı}}}}=1+{\frac {1}{2}}m^{2},\quad$et$\quad {\frac {a^{2}}{\sqrt {a_{\text{ı}}}}}={\frac {1}{n}}=a^{\frac {3}{2}}\left(1+{\frac {1}{4}}m^{2}\right).$