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la quantité $-p-qe'^{2}$ étant supposée égale au coefficient de $e\cos(cv-\varpi )$ dans l’équation différentielle (L’) du numéro précédent, divisé par ${\frac {1+e^{2}}{a}}$ où l’on doit observer que les valeurs de ${\rm {A_{2}^{(0)},A_{1}^{(1)},B_{2}^{(2)},}}$ et ${\rm {B_{2}^{(3)}}}$ renferment déjà le facteur $1-{\frac {5}{2}}e'^{2}.$ La première de ces équations donne, en l’intégrant,

${\frac {1}{c-{\frac {d\varpi }{dv}}}}={\frac {ke^{2}\left(1+e^{2}\right)^{2}}{a^{2}}},$

$k$ étant une constante arbitraire. La seconde donne, en négligeant le carré de $qe'^{2},$

${\frac {d\varpi }{dv}}=c-{\sqrt {1-p}}+{\frac {{\frac {1}{2}}qe'^{2}}{\sqrt {1-p}}},$

et par conséquent, si l’on regarde $p$ et $q$ comme constants, ce que l’on peut faire ici sans erreur sensible, on aura, en désignant ${\frac {q}{\sqrt {1-p}}}$ par $q',$

$\varpi =cv-v{\sqrt {1-p}}+{\frac {1}{2}}q'\int e'^{2}dv+\varepsilon ,$

$\varepsilon$ étant une arbitraire, ce qui donne

$\cos(cv-\varpi )=\cos \left(v{\sqrt {1-p}}-{\frac {q'}{2}}\int e'^{2}dv-\varepsilon \right).$

Il suit de là que, conformément aux observations, le périgée lunaire a un mouvement égal à $\left(1-{\sqrt {1-p}}\right)v+{\frac {1}{2}}q'\int e'^{2}dv.$

Ce mouvement n’est pas uniforme, à raison de la variabilité de $e',$ et si l’on suppose qu’à partir d’une époque donnée, on représente $e'$ par ${\rm {E'}}+fv+lv^{2},\ {\rm {E'}}$ étant l’excentricité de l’orbe terrestre à la même époque, le mouvement du périgée sera

$\left(1-{\sqrt {1-p}}+{\frac {1}{2}}q'{\rm {E}}'^{2}\right)v+{\frac {1}{2}}q'{\rm {E}}'fv^{2}+{\frac {1}{6}}q'\left(2{\rm {E}}'l+f^{2}\right)v^{3}.$

Cette expression pourra servir pendant deux mille ans, soit avant, soit après l’époque. La partie

${\frac {1}{2}}q'{\rm {E}}'fv^{2}+{\frac {1}{6}}q'\left(2{\rm {E}}'l+f^{2}\right)v^{3}$