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10. Pour intégrer cette équation différentielle, nous observerons qu’elle donne, en n’ayant égard qu’aux parties non périodiques,

${\begin{aligned}u=&{\frac {1}{a_{\text{ı}}}}\left(1+e^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{4}}+{\text{ϐ}}''\right)-{\frac {m^{2}}{2a_{\text{ı}}}}\left(1+e^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{4}}+{\frac {3}{2}}e'^{2}\right)\\\\&+{\frac {3m^{2}}{4a_{\text{ı}}}}(4-3m-m^{2}){\rm {A}}_{2}^{(0)}\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)-{\frac {3}{4a_{\text{ı}}}}\left({\rm {B}}_{1}^{(0)}\right)^{2}\gamma ^{2}.\end{aligned}}$

Nous avons désigné, dans le n^o 6, cette quantité par ${\frac {1}{a}}\left(1+e^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{4}}+{\text{ϐ}}\right)\,;$ on aura donc, en observant que, sans l’action du Soleil, on aurait ${\frac {1}{a}}={\frac {1}{a_{\text{ı}}}},$ et qu’ainsi l’on peut supposer ${\text{ϐ}}={\text{ϐ}}'',$

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{a_{\text{ı}}}}-{\frac {m^{2}}{2a_{\text{ı}}}}\left(1+{\frac {3}{2}}e'^{2}\right)+{\frac {3m^{2}}{4a_{\text{ı}}}}\left(4-3m-m^{2}\right){\rm {A}}_{2}^{(0)}\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)$

$-{\frac {3}{4a_{\text{ı}}}}\left({\rm {B}}_{1}^{(0)}\right)^{2}\gamma ^{2}.$

L’action des planètes fait varier l’excentricité $e'$ de l’orbe terrestre, sans altérer son demi-grand axe $a',$ comme on l’a vu dans le Livre II ; la valeur de ${\frac {1}{a}}$ subit donc des variations correspondantes, à raison du terme $-{\frac {3m^{2}e'^{2}}{4a_{\text{ı}}}}$ qu’elle contient, et, comme la constante de la parallaxe de la Lune est proportionnelle à ${\frac {1}{a}}$ on voit qu’elle doit éprouver une variation séculaire ; mais on voit en même temps que cette variation sera toujours insensible.

Nous avons représenté précédemment par ${\frac {e}{a}}\left(1+e^{2}\right)\cos(cv-\varpi )$ la partie de $u$ dépendante de $\cos(cv-\varpi ).$ En la substituant dans l’équation différentielle précédente, en comparant ensuite les sinus et cosinus de $cv-\varpi ,$ et négligeant les quantités de l’ordre ${\frac {d^{2}{\frac {e}{a}}}{dv^{2}}},$ ce qui est permis, vu la lenteur des variations séculaires de l’excentricité de l’orbe terrestre, on aura les deux équations

${\begin{aligned}0&={\frac {e\left(1+e^{2}\right)}{a}}{\frac {d^{2}\varpi }{dv^{2}}}-2\left(c-{\frac {d\varpi }{dv}}\right){\frac {d\left(e{\frac {1+e^{2}}{a}}\right)}{dv}},\\\\0&=1-\left(c-{\frac {d\varpi }{dv}}\right)^{2}-p-qe'^{2},\end{aligned}}$