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Ce terme produit le suivant

${\frac {15m^{2}}{2a_{\text{ı}}}}{\frac {\left({\rm {A}}_{1}^{(1)}\right)^{2}e^{2}\cos(2cv-2v+2mv-2\varpi }{2c-2+2m}}$

quoiqu’il ne soit que du cinquième ordre, cependant, comme il acquiert par l’intégration, dans l’expression de la longitude moyenne, le diviseur $2c-2+2m,$ il faut y avoir égard.

La fonction

$\left({\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u\right){\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}$

donne celle-ci

$-\left({\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u\right){\frac {1}{h^{2}}}\int {\frac {m'u'^{4}dv}{4u^{5}}}\left[3\sin(v-v')+15\sin(3v-3v')\right].$

Sa variation produit les termes suivants

${\begin{aligned}-{\frac {1}{a_{\text{ı}}}}\left({\frac {d^{2}\delta u}{dv^{2}}}+\delta u\right)&\int {\frac {m'u'^{4}dv}{4u^{5}}}\left[3\sin(v-v')+15\sin(3v-3v')\right]\\+{\frac {5m^{2}}{4a_{\text{ı}}}}&{\frac {a}{a'}}\int a\delta udv\left[3\sin(v-v')+15\sin(3v-3v')\right],\end{aligned}}$

d’où résulte le terme

$-{\frac {m^{2}}{2a_{\text{ı}}(1-m)}}\left[13+8(1-m)^{2}\right]{\rm {A}}_{2}^{(0)}{\frac {a}{a'}}\cos(v-mv).$

On doit faire ici une observation importante relativement aux termes dépendants de $\cos(v-mv)$ et que nous nous proposons de déterminer avec exactitude. Les expressions du rayon de l’orbite du Soleil et de sa longitude contiennent des termes dépendants de l’angle $v-mv,$ et qui résultent de l’action de la Lune sur la Terre ; ces termes en produisent d’autres dans l’expression de $u$ et de la longitude moyenne de la Lune, auxquels il est essentiel d’avoir égard. Pour cela, nous observerons qu’en vertu de l’action lunaire, le rayon vecteur du Soleil contient, par le Chapitre IV du Livre VI, le terme ${\frac {\mu }{u}}\cos(v-v'),\ \mu$ étant le rapport de la masse de la Lune à la somme