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de nouveau ces diviseurs par l’intégration dans l’expression de la longitude moyenne de la Lune, ce qui les réduit au second ordre, et ce qui semble devoir donner de grandes valeurs aux inégalités relatives à ces angles. Mais on doit observer que, par le n^o 5, les termes qui ont pour diviseur le carré du coefficient de $v$ dans ces angles se détruisent à très-peu près dans l’expression de la longitude moyenne, en sorte que les inégalités dont il s’agit deviennent du troisième ordre, et conformes au résultat des observations, comme on le verra dans la suite. On peut se dispenser, par cette raison, de considérer, dans le calcul de ces inégalités, les quantités multipliées par $e^{4},e^{2}\gamma ^{2}$ et $\gamma ^{4}\,;$ car les quantités du quatrième ordre qui en résultent après les intégrations se détruisent à très-peu près.

L’intégrale ${\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}$ contient encore le terme

$-{\frac {3m'}{4h^{2}}}\int {\frac {u'^{4}dv}{u^{5}}}\sin(v-v')\,;$

ce terme donne les suivants

${\frac {3m^{2}}{4}}{\frac {a}{a_{\text{ı}}}}{\frac {a}{a'}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1+{\frac {7}{2}}e^{2}-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}+2e'^{2}}{1-m}}\cos(v-mv)\\&\quad +e'\cos(v-mv+c'mv-\varpi ')\\&\quad +{\frac {3e'}{1-2m}}\cos(v-mv-c'mv+\varpi ')\end{aligned}}\right\}\,;$

les autres termes de la même intégrale peuvent être ici négligés. Cela posé, si l’on observe que l’expression de $u$ du n^o 4 donne

${\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u={\frac {1}{a}}\left\{{\begin{aligned}1&+e^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{4}}\\&+\left(1-c^{2}\right)e\cos(cv-\varpi )\\&+{\frac {4g^{2}-1}{4}}\gamma ^{2}\cos(2gv-2\theta )\end{aligned}}\right\}$

le terme $\left({\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u\right){\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}$ de la seconde des équations (L) du