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Les termes dans lesquels $i$ est fort petit, et qui ne se rapportent qu’au mouvement du Soleil, n’augmentent point par l’intégration dans la valeur de $u$ ; mais il est visible, par la première des équations (L) du n^o 1, que ces termes acquièrent le diviseur $i$ par l’intégration, dans l’expression du temps $t$ ; il faut donc faire une grande attention à ces termes. C’est de là que dépend la grandeur de l’équation nommée équation annuelle.

Les termes de la forme $kdv\sin(iv+\varepsilon )$ de l’expression de ${\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}$ acquièrent, par l’intégration de cette expression différentielle, un diviseur de l’ordre $i$ dans la valeur de $u$ ; d’où il semble que, dans l’expression du temps $t$, ils doivent acquérir un diviseur de l’ordre $i^{2}$, ce qui rendrait ces termes fort grands, lorsque $i$ est très-petit ; mais il est essentiel d’observer que cela n’est pas, et que, si l’on n’a égard qu’à la première puissance de la force perturbatrice, ces termes n’ont point, dans l’expression du temps, de diviseur de l’ordre $i^{2}.$ Pour le faire voir, nous observerons que, par le Chapitre VIII du Livre II, l’expression de $v$ en fonction du temps ne peut acquérir de diviseur de l’ordre $i^{2}$ que par la fonction $-3a\int ndt\int d{\rm {Q,}}$ la différentielle $d{\rm {Q}}$ étant uniquement relative aux coordonnées de la Lune. Si ${\rm {Q}}$ contient un terme de la forme $k\cos(it+\varepsilon ),\ i$ étant fort petit, ce terme ne peut acquérir un diviseur de l’ordre $i^{2}$ qu’autant que $d{\rm {Q}}$ n’acquiert point un multiplicateur de l’ordre $i$ ; la partie de l’angle à relative à la Lune ne peut dépendre que des moyens mouvements de la Lune, de son périgée et de ses nœuds, lorsque l’on n’a point égard au carré de la force perturbatrice ; cette partie, si $i$ est fort petit, ne dépend point du moyen mouvement de la Lune ; elle ne peut donc alors dépendre que des mouvements de son périgée et de ses noeuds. Dans ce cas, $d{\rm {Q}}$ acquiert un multiplicateur de l’ordre de ces mouvements, c’est à-dire du second ordre, ce qui fait perdre au terme dont il s’agit son diviseur de l’ordre $i^{2}.$ Les angles croissant avec lenteur n’ont donc, dans l’expression de la longitude vraie en fonction du temps, qu’un diviseur de l’ordre $i$ ; il est aisé d’en conclure que cela a également