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La valeur de $m$ est à peu près égale à la fraction ${\frac {1}{13}}$ ; nous la regarderons comme une quantité très-petite du premier ordre. Les excentricités des orbites du Soleil et de la Lune et l’inclinaison de l’orbite lunaire à l’écliptique sont à peu près du même degré de petitesse. Nous regarderons ainsi les carrés et les produits de ces quantités comme très-petits du second ordre ; leurs cubes et leurs produits de trois dimensions, comme très-petits du troisième ordre, et ainsi de suite. La force perturbatrice du Soleil est de l’ordre ${\frac {m'u'^{3}}{u^{3}}},$ et l’on a vu, dans le n^o 3, que cette quantité est de l’ordre $m^{2},$ ou du second ordre. La fraction ${\frac {a}{a'}}$ étant à peu près égale à ${\frac {1}{400}},$ elle peut être considérée comme étant du second ordre. Nous porterons d’abord les approximations jusqu’aux inégalités du troisième ordre inclusivement, et, dans le calcul de ces inégalités, nous aurons égard aux quantités du quatrième ordre ; mais il faut une attention particulière pour ne laisser échapper dans les intégrales aucune quantité de cet ordre.

Le développement de la seconde des équations (L) du n^o 1 lui donne la forme suivante

$0={\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+{\rm {N}}^{2}u+\Pi ,$

${\rm {N^{2}}}$ ne différant de l’unité que d’une quantité de l’ordre $m^{2},$ et $\Pi$ étant une suite de cosinus de la forme $k\cos(iv+\varepsilon ).$ La partie de $u$ relative à ce cosinus est, par le n^o 41 du Livre II, égale à

${\frac {k}{i^{2}-{\rm {N}}^{2}}}\cos(iv+\varepsilon )\,;$

or il est clair que, si $i^{2}$ ne diffère de l’unité que d’une quantité de l’ordre $m,$ le terme $k\cos(iv+\varepsilon )$ acquiert par l’intégration un diviseur de cet ordre, et par conséquent il devient beaucoup plus considérable et de l’ordre $r-1$, s’il est de l’ordre $r$ dans l’équation différentielle. On verra dans la suite que c’est à cela qu’est due la grandeur de l’inégalité nommée évection.