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le terme dépendant de $\sin(2gv-cv-2\theta +\varpi ),$ qui nous sera utile,

${\begin{aligned}nt+\varepsilon =v&-2e\sin(cv-\varpi )+{\frac {3}{4}}e^{2}\sin(2cv-2\varpi )\sin(2gv-2\theta )\\&-{\frac {3}{4}}e\gamma ^{2}\sin(2gv-cv-2\theta +\varpi ).\end{aligned}}$

En marquant d’un trait pour le Soleil les quantités relatives à la Lune, et observant que $\gamma '=0,$ on aura

${\begin{aligned}n't+\varepsilon '=&v'-2e'\sin(c'v'-\varpi ')+{\frac {3}{4}}e'^{2}\sin(2c'v'-2\varpi '),\\u'=&{\frac {1}{a'}}\left[1+e'^{2}+e'\left(1+e'^{2}\right)\cos(c'v'-\varpi ')\right].\end{aligned}}$

L’origine du temps $t$ étant arbitraire, nous pouvons supposer $\varepsilon$ et $\varepsilon '$ nuls, et alors, en faisant ${\frac {n'}{n}}=m,$ la comparaison des valeurs de $nt$ et de $n't$ donnera

${\begin{aligned}v'-&2e'\sin(c'v'-\varpi ')+{\frac {3}{4}}e'^{2}\sin(2c'v'-2\varpi ')\\&=mv-2me\sin(cv-\varpi )-{\frac {3}{4}}me^{2}\sin(2cv-2\varpi )\\&+{\frac {1}{4}}m\gamma ^{2}\sin(2gv-2\theta )-{\frac {3}{4}}me\gamma ^{2}\sin(2gv-cv-2\theta +\varpi ),\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en observant que $c'$ est extrêmement peu différent de l’unité,

${\begin{aligned}&v'=mv-2me\sin(cv-\varpi )-{\frac {3}{4}}me^{2}\sin(2cv-2\varpi )\\&+{\frac {1}{4}}m\gamma ^{2}\sin(2gv-2\theta )-{\frac {3}{4}}me\gamma ^{2}\sin(2gv-cv-2\theta +\varpi )\\&+2e'\left(1-{\frac {1}{8}}e'^{2}\right)\sin(c'mv-\varpi ')-2mee'\sin(cv+c'mv-\varpi -\varpi ')\\&-2mee'\sin(cv-c'mv-\varpi +\varpi ')+{\frac {5}{4}}e'^{2}\sin(2c'mv-2\varpi '),\end{aligned}}$

$u'={\frac {1}{a'}}\left\{{\begin{aligned}&+e'\left(1-{\frac {1}{8}}e'^{2}\right)\cos(c'mv-\varpi ')+e'^{2}\cos(2c'mv-2\varpi '),\\&+mee'\cos(cv-c'mv-\varpi +\varpi ')\\&-mee'\cos(cv+c'mv-\varpi -\varpi ')\end{aligned}}\right\}$

5. On substituera ces valeurs de $u,u',s$ et $v'$ dans l’expression de ${\rm {Q}}$ et de ses différences partielles, que l’on développera ainsi en sinus et cosinus d’angles proportionnels à $v,$ mais il est nécessaire, pour ce développement, d’établir quelques principes relatifs au degré de petitesse des quantités qui entrent dans ces fonctions et à l’influence des intégrations successives sur leurs différents termes.