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ce qui donne, en intégrant,

${\begin{aligned}&t={\rm {const}}.\\&+h^{3}v\left(1+{\frac {3}{2}}e^{2}+{\frac {3}{2}}\gamma ^{2}\right)-{\frac {2h^{3}e}{c}}\left(1+{\frac {3}{2}}e^{2}+{\frac {5}{4}}\gamma ^{2}\right)\sin(cv-\varpi )\\\\&+{\frac {3h^{3}e^{2}}{4c}}\sin(2cv-2\varpi )-{\frac {h^{3}e^{3}}{3c}}\sin(3cv-3\varpi )+{\frac {h^{3}\gamma ^{2}}{4g}}\sin(2gv-2\theta )\\\\&-{\frac {3h^{3}e\gamma ^{2}}{4(2g+c)}}\sin(2gv+cv-2\theta -\varpi )-{\frac {3h^{3}e\gamma ^{2}}{4(2g-c)}}\sin(2gv-cv-2\theta +\varpi ).\end{aligned}}$

Les coefficients de cette intégrale sont un peu modifiés par l’action du Soleil, comme on le verra dans la suite.

Dans l’hypothèse elliptique, le coefficient de $v$ de cette expression est, par le n^o 16 du Livre II, égal à $a^{\frac {3}{2}},$ ce qui donne

$h^{3}\left(1+{\frac {3}{2}}e^{2}+{\frac {3}{2}}\gamma ^{2}\right)=a^{\frac {3}{2}},$

$a$ étant le demi-grand axe de l’ellipse ; on a donc alors

$h=a^{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}e^{2}-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}\right),$

et par conséquent,

$u={\frac {1}{a}}\left[1+e^{2}+{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}+e\left(1+e^{2}\right)\cos(cv-\varpi )-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\cos(2gv-2\theta )\right]$

En faisant ensuite $n=a^{-{\frac {3}{2}}}$, on aura

${\begin{aligned}nt+\varepsilon =v&-{\frac {2e}{c}}\left(1-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\right)\sin(cv-\varpi )+{\frac {3e^{2}}{4c}}\sin(2cv-2\varpi )\\&-{\frac {e^{2}}{3c}}\sin(3cv-3\varpi )+{\frac {\gamma ^{2}}{4g}}\sin(2gv-2\theta )\\&-{\frac {3e\gamma ^{2}}{4(2g+c)}}\sin(2gv+cv-2\theta -\varpi )\\&-{\frac {3e\gamma ^{2}}{4(2g-c)}}\sin(2gv-cv-2\theta +\varpi ),\end{aligned}}$

$\varepsilon$ étant une arbitraire. Dans la substitution de $nt+\varepsilon$, on pourra supposer $c$ et $g$ égaux à l’unité, et négliger les quantités de l’ordre $e^{3}$ ou $e\gamma ^{2}$ dans les coefficients des sinus. On aura ainsi, en conservant