4. Pour intégrer les équations (L) du no 1, nous observerons que, sans la force perturbatrice du Soleil, la Lune décrirait une ellipse dont le centre de la Terre occuperait un des foyers. On aurait alors, par le no 16 du Livre II,
![{\displaystyle u={\frac {1}{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos(v-\theta )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b765787214dce700115758fd323f109ec03ee8f)
équations dans lesquelles 
est la \operatorname{tang}ente de l’inclinaison de l’orbite lunaire, 
est la longitude de son nœud ascendant, 
et 
sont deux arbitraires dépendantes principalement de l’excentricité de l’orbite et de la position du périhélie. et sont des quantités fort petites ; en négligeant la quatrième puissance de 
on aura
![{\displaystyle u={\frac {1}{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left[1+{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}+e\cos(v-\theta )-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\cos(2v-2\theta )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463aa58dd18fddf1a9e90ec0602f017dad30a38e)
Cette valeur de 
suppose l’ellipse lunaire immobile ; mais on verra bientôt qu’en vertu de l’action du Soleil, les nœuds et le périgée de cette ellipse sont en mouvement. Alors, en désignant par 
le mouvement direct du périgée, et par 
le mouvement rétrograde des nœuds, on aura
![{\displaystyle u={\frac {1}{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left[1+{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}+e\cos(cv-\varpi )-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\cos(2gv-2\theta )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aea6ebc1f97ef18aa9b9258d6eec9d6109a2a7d)
Si l’on substitue cette valeur de dans l’expression de 
du no 1, et si l’on observe qu’en négligeant l’attraction solaire, 
est nul, on aura
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {3}{2}}\left(e^{2}+\gamma ^{2}\right)-2e\left(1+{\frac {3}{2}}e^{2}+{\frac {5}{4}}\gamma ^{2}\right)\cos(cv-\varpi )\\&+{\frac {3}{2}}e^{2}\cos(2cv-2\varpi )-e^{3}\cos(3cv-3\varpi )+{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}\cos(2gv-2\theta )\\&-{\frac {3}{4}}e\gamma ^{2}\left[\cos(2gv+cv-2\theta -\varpi )+\cos(2gv-cv-2\theta +\varpi )\right]\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac1293e6df61bf0eeececa2af4e7ab56da0f146)
