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$\sum k\sin(v+it+\varepsilon )+s_{\text{ı}},$ et au lieu de $s',\ \sum k\sin(v'+it+\varepsilon ),$ il devient

$={\frac {3m'u'^{3}}{u^{2}}}\left[\cos(v-v')-{\frac {u'}{2u}}+{\frac {5u'}{2u}}\cos ^{2}(v-v')+\ldots \right]$

$\times \left[s_{\text{ı}}\cos(v-v')-{\frac {ds_{\text{ı}}}{dv}}\sin(v-v')\right].$

La troisième des équations (L) du n^o 1 donne, par conséquent,

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s+{\frac {{\frac {3}{2}}m'u'^{3}s_{\text{ı}}+\ldots }{u^{4}\left(h^{2}+2\int {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)}},$

ou

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s+{\frac {{\frac {3}{2}}m'u'^{3}s_{\text{ı}}}{h^{2}u^{4}}}+\ldots$

Si l’on néglige les excentricités et les inclinaisons des orbites, on a $u={\frac {1}{a}},\ u'={\frac {1}{a'}},\ a'$ et $a$ étant les moyennes distances du Soleil et de la Lune à la Terre ; on verra dans le numéro suivant que $h^{2}=a$ à fort peu près ; on aura donc

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s+{\frac {3}{2}}m'{\frac {a^{3}}{a'^{3}}}s_{\text{ı}}+\ldots$

Nommons $mt$ le moyen mouvement du Soleil, $m$ n’exprimant plus ici la masse de la Lune ; on aura, par le n^o 16 du Livre II, $m^{2}={\frac {m'}{a'^{3}}}.$ Si l’on suppose ensuite que le temps $t$ soit représenté par le moyen mouvement de la Lune, ce que l’on peut toujours faire, on aura ${\frac {1}{a^{3}}}=1\,;$ partant.

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s+{\frac {3}{2}}m^{2}s_{\text{ı}}+\ldots$

Substituons dans cette équation $\sum k\sin(v+it+\varepsilon )+s_{\text{ı}}$ au lieu de $s,$ et observons que l’on peut ici changer $it$ dans $iv$ ; on aura

$0={\frac {d^{2}s_{\text{ı}}}{dv^{2}}}+\left(1+{\frac {3}{2}}m^{2}\right)s_{\text{ı}}+\sum k\left[1-(i+1)^{2}\right]\sin(v+iv+\varepsilon )+\ldots ,$

ce qui donne, pour la partie de $s_{\text{ı}},$ relative au mouvement séculaire de l’écliptique,

$s_{\text{ı}}={\frac {\sum \left(2i+i^{2}\right)k\sin(v+iv+\varepsilon )}{{\frac {3}{2}}m^{2}-2i-i^{2}}}.$