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Marquons d’un trait pour le Soleil les quantités $u,s$ et $v$ relatives à la Terre ; nous aurons

${\rm {Q}}={\frac {u}{\sqrt {1+s^{2}}}}+{\frac {m'u'}{\sqrt {1+s'^{2}}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {3}{2}}{\frac {\left[uu'\cos(v-v')+uu'ss'-{\frac {1}{2}}u'^{2}\left(1+s^{2}\right)\right]^{2}}{\left(1+s'^{2}\right)^{2}.u^{4}}}\\\\&+{\frac {5}{2}}{\frac {\left[uu'\cos(v-v')+uu'ss'-{\frac {1}{2}}u'^{2}\left(1+s^{2}\right)\right]^{3}}{\left(1+s'^{2}\right)^{2}.u^{8}}}+\ldots \\\\&-{\frac {\left(1+s^{2}\right)u'^{2}}{2\left(1+s'^{2}\right)u^{2}}}\end{aligned}}\right\}$

La distance du Soleil à la Terre étant à très-peu près quatre cents fois plus grande que celle de la Lune, $u'$ est très-petit relativement à $u$ ; ainsi l’on peut, dans la théorie lunaire, négliger les termes de l’ordre $u^{'5}.$ On peut encore simplifier les calculs en prenant pour plan de projection celui de l’écliptique. À la vérité, ce dernier plan n’est pas fixe ; mais dans son mouvement séculaire il emporte l’orbite de la Lune, de manière que l’inclinaison moyenne de cette orbite sur lui reste constante, en sorte que les phénomènes dépendants de cette inclinaison respective sont toujours les mêmes.

3. Pour le faire voir, nous observerons que $s'$ est, comme il résulte du n^o 59 du Livre II, égal à une suite de termes de la forme $k\sin(v'+it+\varepsilon )\,;$ nous la représenterons par $\sum k\sin(v'+it+\varepsilon ),$ $i$ étant un coefficient extrêmement petit, dont nous négligerons le produit par $m'u'^{3}.$ La valeur de $s$ sera, en négligeant les quantités de l’ordre $s^{3},$ égale à $\sum k\sin(v+it+\varepsilon )+s_{\text{ı}},\ s_{\text{ı}}$ étant la tangente de la latitude de la Lune au-dessus de l’écliptique vraie. Cela posé, on aura

${\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}-us{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial u}}-\left(1+s'^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial s}}$

$={\frac {3m'u'^{3}}{u^{2}}}\left[\cos(v-v')-{\frac {u'}{2u}}+{\frac {5u'}{2u}}\cos ^{2}(v-v')+\ldots \right]$

$\times \left[s\cos(v-v')-{\frac {ds}{dv}}\sin(v-v')-s'\right].$

En substituant dans le second membre de cette équation, au lieu de $s,$