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en désignant ainsi par $\delta V'$ la différence ${\rm {V'}}-{\frac {m}{r}},\ {\rm {M}}\delta {\rm {V}}'$ sera la partie de l’intégrale $\iint {\frac {d{\rm {M}}dm}{f}},$ due à la non-sphéricité de la Lune ; on aura donc, à très-peu près,

${\frac {{\rm {M}}+m}{{\rm {M}}m}}\iint {\frac {d{\rm {M}}dm}{f}}={\frac {{\rm {M}}+m}{r}}+({\rm {M}}+m)\left({\frac {\delta {\rm {V}}}{\rm {M}}}+{\frac {\delta {\rm {V'}}}{m}}\right).$

Il faut, par conséquent, augmenter, dans l’expression précédente de ${\rm {Q}},$ ${\frac {{\rm {M}}+m}{r}}$ de la quantité

$({\rm {M}}+m)\left({\frac {\delta {\rm {V}}}{\rm {M}}}+{\frac {\delta {\rm {V'}}}{m}}\right),$

pour avoir égard à la non-sphéricité de la Terre et de la Lune.

2. Supposons d’abord ces deux corps sphériques, et développons l’expression de ${\rm {Q}}$ en série. On a

${\frac {1}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}+}}}={\frac {1}{\sqrt {r'^{2}+r^{2}-2xx'-2yy'-2zz'}}}.$

Ce second membre, développé suivant les puissances descendantes de $r',$ devient

${\frac {1}{r'}}+{\frac {xx'+yy'+zz'-{\frac {1}{2}}r^{2}}{r'^{3}}}+{\frac {3}{2}}{\frac {\left(xx'+yy'+zz'-{\frac {1}{2}}r^{2}\right)^{2}}{r^{'5}}}$

$+{\frac {5}{2}}{\frac {\left(xx'+yy'+zz'-{\frac {1}{2}}r^{2}\right)^{3}}{r^{'7}}}+\ldots .$

Prenons pour unité de masse la somme ${\rm {M}}+m$ des masses de la Terre et de la Lune, et observons que

${\begin{aligned}r=&{\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{u}},\\x=&{\frac {\cos v}{u}},\\y=&{\frac {\sin v}{u}},\\z=&{\frac {s}{u}}.\end{aligned}}$