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CHAPITRE PREMIER.

intégration des équations différentielles du mouvement lunaire.

1. Reprenons les équations différentielles (K) du n^o 15 du Livre II, et donnons-leur la forme suivante

(L)

\left\{{\begin{aligned}&\qquad \qquad dt={\frac {dv}{hu^{2}{\sqrt {1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}}}}},\\\\0=&\left({\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u\right)\left(1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)+{\frac {du}{h^{2}u^{2}dv}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {1}{h^{2}}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial u}}-{\frac {s}{h^{2}u}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial s}},\\\\0=&\left({\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s\right)\left(1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)+{\frac {1}{h^{2}u^{2}}}{\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {s}{h^{2}u}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial u}}-{\frac {1+s^{2}}{h^{2}u^{2}}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial s}}.\end{aligned}}\right.

Dans ces équations, $t$ exprime le temps, et l’on a

{\rm {Q}}={\frac {{\rm {M}}+m}{r}}-{\frac {m'(xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}+{\frac {m'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}.

${\rm {M}},m$ et $m'$ sont les masses de la Terre, de la Lune et du Soleil ; $x,y,z$ sont les coordonnées de la Lune, rapportées au centre de gravité de la Terre et à une écliptique fixe ; $x',y',z'$ sont les coordonnées du Soleil ; $r$ et $r'$ sont les rayons vecteurs de la Lune et du Soleil ; $s$ est la tangente de la latitude de la Lune au-dessus du plan fixe ; ${\frac {1}{u}}$ est la projection de son rayon vecteur sur le même plan ; $v$ est l’angle fait par cette projection et par l’axe des $x$ ; enfin $h^{2}$ est une constante arbitraire dépendante principalement de la distance de la Lune à la Terre.

La valeur précédente de ${\rm {Q}}$ suppose la Terre et la Lune sphériques.