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ce qui donne, en négligeant les quantités multipliées par le sinus et le cosinus de l’angle $v,$

${\frac {s\sin 2l}{r'^{3}}}\cos(v-{\rm {U}})={\frac {\sin 2l}{2r'^{3}}}\left(t{\frac {dq}{dt}}\sin {\rm {U}}-t{\frac {dp}{dt}}\cos {\rm {U}}\right),$

et par conséquent

$\operatorname {d} .{\frac {s\sin 2l}{r'^{3}}}\cos(v-{\rm {U}})={\frac {\sin 2l}{2r'^{3}}}\left({\frac {dq}{dt}}\sin {\rm {U}}-{\frac {dp}{dt}}\cos {\rm {U}}\right)dt,$

d’où résulte, dans $d\delta v,$ le terme

$-{\frac {21}{4}}{\frac {m'a^{3}}{r'^{3}}}ntdt\sin 2l\left({\frac {dq}{dt}}\sin {\rm {U}}-{\frac {dp}{dt}}\cos {\rm {U}}\right),$

et par conséquent, dans $\delta v,$ l’inégalité séculaire

$-{\frac {21}{8}}{\frac {m'a^{3}}{r'^{3}}}nt^{2}\sin 2l\left({\frac {dq}{dt}}\sin {\rm {U}}-{\frac {dp}{dt}}\cos {\rm {U}}\right).$

Nous avons donné, dans le n^o 31, relativement à la Terre, les valeurs de ${\frac {dp''}{dt}}$ et de ${\frac {dq''}{dt}}.$ En les substituant dans la fonction précédente, on voit qu’elle est insensible depuis les observations les plus anciennes.

Il est facile de s’assurer que les résultats précédents ont encore lieu relativement aux planètes les plus distantes du Soleil ; ainsi l’action des étoiles sur le système planétaire est, à raison de leur grande distance, totalement insensible.

Il reste présentement à comparer aux observations les formules des perturbations planétaires, exposées dans ce Livre, et principalement celles des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne ; mais cette comparaison exigerait de trop longs développements. Il me suffira de remarquer ici qu’avant la découverte de ces inégalités, les erreurs des meilleures tables s’élevaient à trente-cinq ou quarante minutes, et qu’elles n’excèdent pas maintenant une minute. Halley avait conclu de la comparaison des observations modernes, soit entre elles, soit aux observations anciennes, que le mouvement de Saturne se ralentit, et