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Substituons pour $r$ sa valeur $a\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]$^[1], et pour $ndt$ sa valeur $dv\left[1-2e\cos(v-\varpi )\right],$ et négligeons, sous le signe $\int ,$ les termes périodiques affectés de l’angle $v\,;$ nous aurons

${\begin{aligned}ndtr{\rm {R}}_{\text{ı}}\sin v=&{\frac {m'a^{3}dv}{4r'^{3}}}\left[\left(1-{\frac {3}{2}}\cos ^{2}l\right)e\sin \varpi +{\frac {3}{4}}\cos ^{2}l.e\sin(\varpi -2{\rm {U)}}\right],\\ndtr{\rm {R}}_{\text{ı}}\cos v=&{\frac {m'a^{3}dv}{4r'^{3}}}\left[\left(1-{\frac {3}{2}}\cos ^{2}l\right)e\cos \varpi -{\frac {3}{4}}\cos ^{2}l.e\sin(\varpi -2{\rm {U)}}\right],\end{aligned}}$

ce qui donne, en regardant $\varpi ,l,r'$ et ${\rm {U}}$ comme constants à très-peu près,

${\frac {\delta r}{a}}=-{\frac {m'a^{3}v}{r'^{3}}}\left[\left(1-{\frac {3}{2}}\cos ^{2}l\right)e\sin(v-\varpi )-{\frac {3}{4}}\cos ^{2}l.e\sin(v+\varpi -2{\rm {U)}}\right].$

Maintenant on a

${\frac {\delta r}{a}}=\delta e\cos(v-\varpi )+e\delta \varpi \sin(v-\varpi )\,;$

en comparant cette équation à la précédente, on aura

${\begin{aligned}\delta e=&{\frac {3m'a^{3}v}{4r'^{3}}}\cos ^{2}l.e\sin(2\varpi -2{\rm {U),}}\\\delta \varpi =&-{\frac {m'a^{3}v}{r'^{3}}}\left[1-{\frac {3}{2}}\cos ^{2}l-{\frac {3}{4}}\cos ^{2}l\cos(2\varpi -2{\rm {U)}}\right].\end{aligned}}$

Ainsi l’action de l’étoile $m'$ produit des variations séculaires dans l’excentricité et dans la longitude du périhélie de l’orbite de la planète $m$ ; mais ces variations sont incomparablement plus petites que celles qui sont dues à l’action des autres planètes. En effet, si l’on suppose que $m$ soit la Terre, $r'$ ne peut pas, d’après les observations, être supposé plus petit que $100000a,$ et alors le terme ${\frac {m'a^{3}v}{r'^{3}}}$ n’excède pas

$m't.0''{,}000000004,$

$t$ exprimant un nombre d’années juliennes, ce qui est incomparablement au-dessous de la variation séculaire de l’excentricité de l’orbe

1. La valeur de $r$ est $a\left[1-e\cos(v-\varpi )\right].$ V. P.