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nées rec\operatorname{tang}les, rapportées au centre de gravité du Soleil, et par $r'$ sa distance à ce centre, $x,y,z$ étant les trois coordonnées de la planète $m,$ et $r$ étant sa distance au Soleil. On aura, par le n^o 46 du Livre II,

${\rm {R}}={\frac {m'(xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}-{\frac {m'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}.$

En développant le second membre de cette équation suivant les puissances descendantes de $r',$ on aura

${\rm {R}}=-{\frac {m'}{r'}}+{\frac {m'r^{2}}{2r'^{3}}}-{\frac {3}{2}}m'{\frac {\left(xx'+yy'+zz'-{\frac {1}{2}}r^{2}\right)^{2}}{r'^{5}}}+\ldots .$

Prenons pour plan fixe celui de l’orbite primitive de la planète ; nous aurons, en négligeant le carré de $z,$

$x=\cos v,\qquad y=r\sin v,\qquad z=rs.$

Nommons ensuite $l$ la latitude de l’étoile $m'$ et ${\rm {U}}$ sa longitude ; nous aurons

$x'=r'\cos l\cos {\rm {U}},\qquad y'=r'\cos l\sin {\rm {U}},\qquad z'=r'\sin l,$

d’où l’on tire, en négligeant les puissances descendantes de $r'$ audessus de $r^{3}$

${\rm {R}}=$

$-{\frac {m'}{r'}}+{\frac {m'r^{2}}{4r'^{3}}}\left[2-3\cos ^{2}l-3\cos ^{2}l\cos(2v-2{\rm {U}})-6s\sin 2l\cos(v-{\rm {U)}}\right].$

Maintenant, $r',l$ et ${\rm {U}}$ variant d’une manière presque insensible, si l’on désigne par ${\rm {R}}$, la partie de ${\rm {R}}$ divisée par $r'^{3},$ on a, en négligeant le carré de l’excentricité de l’orbite de $m,$ et le terme dépendant de $s$ et qui est de l’ordre des forces perturbatrices que $m$ éprouve par l’action des planètes,

$\int d{\rm {R}}={\rm {R}}_{\text{ı}}-{\frac {m'a^{2}}{4r'^{3}}}\left(2-3\cos ^{2}l\right),\qquad r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=2{\rm {R_{\text{ı}}.}}$

La formule (X) deviendra ainsi, en supposant $\mu =1,$ ce qui revient à très-peu près à prendre pour unité la masse du Soleil,

$\delta r=4a\cos v\int ndtr{\rm {R}}_{\text{ı}}\sin v-4a\sin v\int ndtr{\rm {R}}_{\text{ı}}\cos v.$