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turne, l’inégalité

$99''{,}900.\sin \left(3n^{\rm {vi}}t-n^{\rm {v}}t+3\varepsilon ^{\rm {vi}}-\varepsilon ^{\rm {v}}-98^{\circ }{,}1313\right),$

ce qui diffère peu de l’inégalité

$95''{,}334222.\sin \left(3n^{\rm {vi}}t-n^{\rm {v}}t+3\varepsilon ^{\rm {vi}}-\varepsilon ^{\rm {v}}-97^{\circ }{,}1319\right),$

donnée dans le n^o 35^[1].

40. Considérons, dans le développement de ${\rm {R}}$, le terme de la forme

$m'{\rm {M}}^{(1)}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right].$

et supposons que $i(n'-n)+2n$ soit fort petit par rapport à $n$ et à $n'\,;$ ce terme produira, par le n^o 69 du Livre II, dans l’excentricité $e$ de l’orbite de la planète $m,$ considérée comme une ellipse variable, l’inégalité

$-{\frac {m'an}{i(n'-n)+2n}}{\rm {M}}^{(1)}e'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right].$

et dans la position $\varpi$ du périhélie l’inégalité

$-{\frac {m'an}{i(n'-n)+2n}}{\rm {M}}^{(1)}{\frac {e'}{e}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi '\right].$

Nommons $\delta e$ la première de ces inégalités, et $\delta a$ la seconde. L’expression de $v$ contient le terme $2e\sin(nt+\varepsilon -\varpi ),$ et par conséquent l’inégalité

$2\delta e\sin(nt+\varepsilon -\varpi )-2e\delta \varpi \cos(nt+\varepsilon -\varpi ),$

ce qui donne dans $v$ l’inégalité

${\frac {2m'an}{i(n'-n)+2n}}{\rm {M}}^{(1)}e'\sin \left[(i-1)(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+n't+\varepsilon '-\varpi '\right].$

1. L’inégalité donnée dans le n^o 35 [voir page 144) est
   $95''{,}757344.\sin \left(3n^{\rm {vi}}t-n^{\rm {v}}t+3\varepsilon ^{\rm {vi}}-\varepsilon ^{\rm {v}}-95^{\circ }{,}0779\right),$

   valeur un peu différente de celle qui est rapportée ici. V. P.