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d’où l’on a conclu

${\frac {d\partial v^{\rm {iv}}}{dt}}=-73''{,}90016.e^{\rm {iv^{2}}}-85''{,}7873.e^{\rm {v^{2}}}+32{,}4989.e^{\rm {iv}}e^{\rm {v}}\cos \left(\varpi ^{\rm {v}}-\varpi ^{\rm {iv}}\right)$

On peut, dans le second membre de cette équation, négliger la partie constante, qui se confond avec le moyen mouvement de Jupiter, et alors on a

${\begin{aligned}{\frac {d\partial v^{\rm {iv}}}{dt}}=&-73''{,}9016.t.2e^{\rm {iv}}{\frac {de^{\rm {iv}}}{dt}}-85''{,}7873.t.e^{\rm {v}}{\frac {de^{\rm {v}}}{dt}}\\&+132''{,}4989.t\left[\left(e^{\rm {iv}}{\frac {de^{\rm {v}}}{dt}}+e^{\rm {v}}{\frac {de^{\rm {iv}}}{dt}}\right)\cos \left(\varpi ^{\rm {v}}-\varpi ^{\rm {iv}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-e^{\rm {iv}}e^{\rm {v}}{\frac {d\varpi ^{\rm {v}}-d\varpi ^{\rm {iv}}}{dt}}\sin \left(\varpi ^{\rm {v}}-\varpi ^{\rm {iv}}\right)\right]\end{aligned}}$

En substituant, pour ${\frac {de^{\rm {iv}}}{dt}},{\frac {de^{\rm {v}}}{dt}},{\frac {d\varpi ^{\rm {iv}}}{dt}},{\frac {d\varpi ^{\rm {v}}}{dt}},$ leurs valeurs données par ce qui précède, et intégrant, on a

$\delta v^{\rm {iv}}=-t^{2}.0{,}0000020066.$

Cette inégalité est insensible dans l’intervalle de mille ou douze cents ans, et même par rapport aux observations les plus anciennes qui nous soient parvenues ; on peut donc la négliger.

Il nous reste à considérer le rayon vecteur de Jupiter. On a vu, dans le n^o 8, que les termes dépendants du cube des excentricités ajoutent à son expression la quantité

${\begin{aligned}&-a^{\rm {iv}}e^{\rm {iv}}{\rm {H}}\cos \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}-\varpi ^{\rm {iv}}+{\rm {A}}\right)\\&+a^{\rm {iv}}e^{\rm {iv}}{\rm {H}}\cos \left(4n^{\rm {iv}}t-5n^{\rm {v}}t+4\varepsilon ^{\rm {iv}}-5\varepsilon ^{\rm {v}}-\varpi ^{\rm {iv}}-{\rm {A}}\right)\\&+{\frac {4m^{\rm {v}}n^{\rm {iv}}a^{\rm {iv^{2}}}}{5n^{\rm {v}}-2n^{\rm {iv}}}}\left\{{\begin{aligned}&{\rm {P}}\sin \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right)\\&{\rm {P'}}\cos \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right)\end{aligned}}\right\}\\\end{aligned}}$

En réduisant cette fonction en nombres, on trouve

$\delta r^{\rm {iv}}=\left(1+\mu ^{\rm {v}}\right)$

$\times \left\{{\begin{aligned}&-0{,}0003042733.\cos \left(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}-13^{\circ }{,}4966\right)\\&+0{,}0001001860.\cos \left(4n^{\rm {iv}}t-5n^{\rm {v}}t+4\varepsilon ^{\rm {iv}}-5\varepsilon ^{\rm {v}}-50^{\circ }{,}3108\right)\end{aligned}}\right\}$