Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 3.djvu/163

137

SECONDE PARTIE. — LIVRE VI.

Il faut encore appliquer au moyen mouvement de Jupiter cette inégalité à longue période.

L’inégalité

${\frac {1}{4}}{\frac {\left(5m^{\rm {iv}}{\sqrt {a^{\rm {iv}}}}+4m^{\rm {v}}{\sqrt {a^{\rm {v}}}}\right)}{m^{\rm {v}}{\sqrt {a^{\rm {v}}}}}}$

$\times {\rm {{\overline {H}}K}}\sin \left(5n^{\rm {iv}}t-10n^{\rm {v}}t+5\varepsilon ^{\rm {iv}}-10\varepsilon ^{\rm {v}}-{\rm {B-{\overline {A}}}}\right),$

trouvée dans le n^o 13, donne, en la réduisant en nombres,

$-12''{,}422071.\sin \left(5n^{\rm {iv}}t-10n^{\rm {v}}t+5\varepsilon ^{\rm {iv}}-10\varepsilon ^{\rm {v}}+57^{\circ }{,}0725\right).$

On a encore, par le n^o 8, l’inégalité

${\frac {3}{4}}e^{\rm {iv}}{\rm {K}}\sin \left(5n^{\rm {v}}t-4n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-4\varepsilon ^{\rm {iv}}+{\rm {B}}\right).$

Cette inégalité, réduite en nombres, donne

$31''{,}125493.\sin \left(4n^{\rm {iv}}t-5n^{\rm {v}}t+4\varepsilon ^{\rm {iv}}-5\varepsilon ^{\rm {v}}+50^{\circ }{,}4025\right)\,;$

en la réunissant aux deux inégalités

${\begin{aligned}&3''{,}387695.\sin \left(5n^{\rm {v}}t-4n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-4\varepsilon ^{\rm {iv}}+\varpi ^{\rm {iv}}\right),\\-&8''{,}585382.\sin \left(5n^{\rm {v}}t-4n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-4\varepsilon ^{\rm {iv}}+\varpi ^{\rm {v}}\right),\end{aligned}}$

que nous avons trouvées précédemment, on aura l’inégalité

$\left(1+\mu ^{\rm {v}}\right).35''{,}512932.\sin \left(4n^{\rm {iv}}t-5n^{\rm {v}}t+4\varepsilon ^{\rm {iv}}-5\varepsilon ^{\rm {v}}+64^{\circ }{,}4555\right).$

On a vu, dans le n^o 5, que l’expression de $d\partial v^{\rm {iv}}$ renferme une inégalité séculaire dépendante de l’équation^[1]

${\frac {d\partial v^{\rm {iv}}}{dt}}=$

${\begin{aligned}&\qquad {\frac {m^{\rm {v}}n^{\rm {iv}}}{8}}\left(h^{\rm {iv^{2}}}+l^{\rm {iv^{2}}}\right)\left(2a^{\rm {iv^{2}}}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{\rm {iv}}}}+7a^{\rm {iv^{3}}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{\rm {iv^{2}}}}}+2a^{\rm {iv^{4}}}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{\rm {iv^{3}}}}}\right)\\\\&\quad +{\frac {m^{\rm {v}}n^{\rm {iv}}}{4}}\left(h^{\rm {v^{2}}}+l^{\rm {v^{2}}}\right)\left(2a^{\rm {iv^{2}}}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{\rm {iv}}}}+4a^{\rm {iv^{3}}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{\rm {iv^{2}}}}}+\ \ a^{\rm {iv^{4}}}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{\rm {iv^{3}}}}}\right)\\\\&\quad -{\frac {m^{\rm {v}}n^{\rm {iv}}}{8}}\left(h^{\rm {iv}}h^{\rm {v}}+l^{\rm {iv}}l^{\rm {v}}\right)\\&\qquad \qquad \times \left(2a^{\rm {iv}}{\rm {A}}^{(1)}-2a^{\rm {iv^{2}}}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a^{\rm {iv}}}}+15a^{\rm {iv^{3}}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a^{\rm {iv^{2}}}}}+4a^{\rm {iv^{4}}}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a^{\rm {iv^{3}}}}}\right),\end{aligned}}$

1. D’après l’errata placé à la fin du tome V de l’édition du Gouvernement, cette inégalité doit être affectée du signe $-.$ La correction est donnée comme ayant été indiquée par l’Auteur.